全等三角形中做辅助线技巧窍门要点大汇总.doc

\全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验 线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种① 从角平分线上一点向两边作垂线；② 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件DC与角有关的辅助线（—）、截取构全等如图1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并连 接DE DF,则有△ OED^A OFD从而为我们证 明线段、角相等创造了条件例 1. 如图 1-2，AB//CD，BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点 E 在 AD上,求证：BC=AB+CD例2. 已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD= / CAD DA=DB 求证 DC! AC例3. 已知：如图1-4，在△ ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD图1-4分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明试试看可否把短的 延长来证明呢？练习1. 已知在△ ABC中, AD平分/ BAC / B=2/C,求证：AB+BD=AC2. 已知：在厶 ABC中,/ CAB=/ B，AE平分/ CAB交 BC于 E，AB=2AC求证：AE=2CE3. 已知：在厶ABC中, AB>AC,A为/ BAC的平分线，M为AD上任一点求证：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是厶ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DBDC 求证：BD+CD>AB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题例 1.如图 2-1，已知 AB>AD, Z BACM FAC,CD=BC 求证：/ ADCZ B=180分析：可由C向Z BAD的两边作垂线近而证Z ADC 与Z B之和为平角图2-1例2.如图 2-2，在△ ABC中, Z A=90 , AB=ACZ ABDZ CBD求证：BC=AB+AD分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造出例3.已知如图2-3，△ ABC的角平分线BM CN相交于点P。

求证：Z BAC的平分线也经过点P分析：连接AP,证AP平分Z BAC即可，也就是证P到ABAC的距离相等练习:MFCA，1. 如图 2-4 Z AOPZ BOP=15，PC//OA PDLO图2-4全等三角形，从而得证此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法\女口果 PC=4 贝U PD=( )A 4 B 3 C 2 D 12. 已知在厶 ABC中，/ C=90 , AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC3. 已知：如图 2-5, / BACK CAD,AB>AD CE±AB1AE=2 （AB+AD .求证：/ D+Z B=1804. 已知：如图2-6,在正方形ABCD中, E为CD的中点,F为BC上的点，Z FAEZ DAE 求证：AF=AD+CF5. 已知：如图 2-7，在 Rt△ ABC中, Z ACB=90 ,CD丄AB,垂足为 D, AE平分Z CAB交 CD于 F,过 F 作 FH//AB 交 BC于 H求证 CF=BHB（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）例 1. 已知：如图 3-1 , Z BADZ DAC AB>AC,Ct!AD于 D, H是 BC中点1求证：DHh （AB-AC2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形问题可证例2.已知：如图 3-2 , AB=ACZ BAC=90 , AD为Z ACFEBC的平分线，CE! BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线， 可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线,EN图3-3过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=ME分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA 丄AF,从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等例4.已知：如图3-4，在△ ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD 1延长线于 M 求证：AM= (AB+AC2分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作△ AB1D关于AD的对称△ AED然后只需证DM=EC另外21由求证的结果AM= (AB+AC，即2AM=AB+AC也可 尝试作△ ACM关于CM的对称△ FCM然后只需证DF=C F即可。

练习：1. 已知：在厶ABC中, AB=5 AC=3 D是BC中点，AE是/ BAC的平分 线，且CELAE于E,连接DE求DE2. 已知BE、BF分别是△ ABC的/ABC的内角与外角的平分线， AFLBF1 于F, AE1 BE于E,连接EF分别交 AB AC于 M N,求证MN= BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形如图4-1和图4-2所示图4-2例 4 如图，AB>AC, / 仁/2,求证：AB- AC>BDCDB例 5 如图，BC>BA BD平分/ ABC 且 AD=CD 求证：/ A+Z C=18Q如图,AB// CD AE DE分别平分Z BAD各Z ADE 求证：AD=AB+GDB练习：1.已知，如图，/ C=2/ A, AC=2BC求证：△ ABC是直角三角形c2.已知：如图，AB=2AC/ 仁/2, DA=DB 求证：DCLACC3. 已知CE人是厶ABC的角平分线，/ B=60°,求证：AC=AE+CD4. 已知：如图在△ ABC中,/ A=90°，AB=AC BD是/ ABC的平分线，求证:BC=AB+AD.\由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条；2、 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可 连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1、 已知如图 1-1： D、E ABC 内两点，求证:AB+AC>BD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在厶 AMN中, AM+AN>MD+DE+NE；）在厶 BDM中, MB+MD>B（2）在厶 CEN中, CN+NE>CE（ 3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE••• AB+AC>BD+DE+EC(法二：图 1-2)延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G 在厶ABF和△ GFCffiA GDE中有：AB+AF>BD+DG+G三角形两边之和大于第三边）(1).\图2 1GF+FOGE+CW上)(2)DG+GE>D0同上)(3)由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+>EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内 角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上， 再利用外角定 理:例如：如图2-1 :已知D ABC内的任一点，求证：/ BDC> / BAC。

分析：因为/ BDC与/ BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDC处于在外角的位置，/ BAC处于在内角 的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDC®^ EDC勺外角，• / BDC2 DEC 同理/ DEC2 BAC BDC2 BAC证法二：连接AD并廷长交BC于F,这时/ BDF是△ ABD的夕卜角，•/ BDF2 BAD 同理，/ CDF* CAD BDF+/ CDF* BAD* CAD 即：/ BDC* BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,图3 1如:例如：如图3-1：已知AD ABC的中线，且*仁/ 2* 3= / 4,求证：BE+CF>EF分析要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定 理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知/ 1 = * 2，* 3=* 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中证明：在DN上截取DN=DB连接NE NF,贝U DN=D C在厶 DBE?3 NDE中:「DN=D（辅助线作法）/仁/2 （已知）ED=E（公共边）•••△ DBE^A NDE（ SAS••• BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中 EN+FN>EF三角形两边之和大于第三边）••• BE+CF>EF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段， 构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

三、截长补短法作辅助线例如：已知如图6-1 :在△ ABC中, AB>AC/。