因式分解含问题详解.docx

因式分解序号公式记忆特征1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)(十字相乘法)(1) 常数项两数积(2) —次项系数两数和(3) 二次项系数为12a2-b2 = (a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2(完全平方公式)4a2.+b.2+c2.+2.ab.+2ac±2bc = (a+b+c)2(完全平方公式扩展)(1)三数平方和 ⑵两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3 a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆6a3+b3 = (a+b)(a2-.ab.+b2) a3-b3 = (a-b)(a2+.ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)[(a+b.)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)[(.a+b)2+.3.ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+.b2+c.2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn = (a-b)(an-i+an-2b+an-3b2+... +abn-2+bn-i) n=整数(平方差公式扩展)(1)短差长和；⑵a指数逐项递减1；⑶b指数逐项递增1；⑷长式每项指数和恒等于n-1。

9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-bn-1) n=偶数(立方差公式扩展)(1)短式变加长式加减相间；⑵a指数逐项递减1；⑶b指数逐项递增1；(4)母项付号b扌日数决定偶加奇减10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-. +abn-2-bn-1) n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9的异同运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰 当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz；解⑴原式二-2xn-iyn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．⑵原式二x 3+(-2y)汁(-z) 3-3x(-2y)(-Z)= (x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b). 这个①式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导. 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=[(a+b)3+c3】 -3ab(a+b+c)= (a+b+c) [ (a+b) 2-c(a+b)+c2] -3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公 式(6)变形为a3+b3+c3-3abc=-^ -(a - b-c ： 1 + 2b3 +2c2 -2ab -2b: ■ 2ca：=£ （. s + b-^c" L （a -b） 2 + :b-c） ' + [c-曰：显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c>0 时，则 a3+b3+c3-3abc±0,即 a3+b3+c3 ±3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令 x二a3±0，y二b3±0，z二C3±0，则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.※※变式练习1 分解因式：X15+X14+X13+…+X2+X+1.分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项 xi5开始，x的次数顺次递减至0，由 此想到应用公式an-bn来分解.解因为X16-1=(X-1)(X15+X14+X13+・・・X2+X+1)，所以原式-（Z-1XK13 一2“ +0亠心-Z + 1）_ （J ■+ 十 l）；X2 + l）（l I' 1）（：X - 1.）2-1=（X6 +1）（E4 +!）[kJ说明在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合 并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需 要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项 式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多 项式能用分组分解法进行因式分解．例3分解因式：X3-9x+8.分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法 1 将常数项 8 拆成-1+9.原式=X3-9x-1+9=(x3-1) -9x+9=(x-1)(x2+x+1) -9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x.原式=X3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3将三次项X3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1) -8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法 4 添加两项 -x2+x2.原式=X3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一 定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸 方法中技巧性最强的一种.※※变式练习1分解因式：(1) x9+x6+x3-3；(2) (m2-1)(n2-1)+4mn；(3) (x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4) a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．式=X 9+X6+X3- 1- 1- 1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(X3-1)(X6+X3+1)+(X3-1)(X3+1)+(X3-1)=(X3-1)(X6+2X3+3) =(X-1)(X2+X+1)(X6+2X3+3)．(2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2 =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).⑶将(x2-1)2 拆成 2(x2-1) 2-(X2-1) 2.原式=(x+1) 4+2(x2-1) 2- (X2-1) 2+(x-1) 4 =[(X+1)4+2(X+1)2(X-1)2+(X-1)4]-(X2-1)2 =[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加两项+ab-ab.原式 二a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1).说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加 +ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合, 找到公因式.这道题目使我们体会到 拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替 代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例 4 分解因式：(X2+x+1)(X2+x+2)-12.分析 将原式展开，是关于X的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将X2+X看作一 个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设X2+x=y，则原式=(y+l)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(X2+X-2)(X2+X+5) =(X-1)(X+2)(X2+X+5).说明本题也可将X2+X+1看作一个整体，比如今X2+X+1=U, —样可以得到同样的结果， 有兴趣的同学不妨试一试.例5分解因式：(X2+3X+2)(4X2+8X+3) -90.分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(X+1)(2X+3)][(X+2)(2X+1)]-90=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2) -90.令 y=2x2+5x+2，则原式二y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7) =(2X2+5X+12)(2X+7)(X-1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.※※变式练习1.分解因式：(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.解设 X2+4x+8=y，则原式二y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(X2+6X+8)(X2+5X+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需 要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式 1.双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数, 于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为-117 1即:—22y2+35y—3=(2y—3)(—lly+l).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式二[x+(2y-3)][2x+(Tly+l)]= (x+2y-3)(2x-lly+l).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并 在一起，可得到下图：(x+2y)(2xTly)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+l)=2x2~5x-3 ；(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ax2+bxy。