概率论与数理统计-数学期望.pps

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,某型号电视机的平均寿命 18000小时±200小时,,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,期望和方差,随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念.,我们从离散型随机变量的数学期望开始.,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,某交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？,我们来看第一个问题.,若统计100天,,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,,这是 以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,,不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 .,这样做是否合理呢？,不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:,有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.,规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.,记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X为随机变量，X的概率函数为,对试验次数(即天数)n,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算,与,进行比较.,则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的.,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于一个随机变量，若它可能取的值是X1, X2, …, 相应的概率为 p1, p2, …,,但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近,定义1 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,…,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解: 设试开次数为X,,P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n,E(X),于是,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 …,则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是,小区间[xi, xi+1),阴影面积 近似为,小区间[Xi, Xi+1),由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积 近似为,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,,若X~U(a,b),即X服从( a,b)上的均匀分布,则,若X服从,若X服从参数为,由随机变量数学期望的定义，不难计算得：,这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.,已知某地区成年男子身高X~,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,设X是一个随机变量，Y=g(X)，则,,当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,,该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,将g(X)特殊化，可得到各种数字特征:,其中 k 是正整数.,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,五、数学期望性质的应用,例1 求二项分布的数学期望,若 X~B(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.,X~B(n,p),,若设,则 X= X1+X2+…+Xn,= np,i=1,2，…，n,因为 P(Xi =1)= p,,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,例2 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,,k=1,2, …,n,则,故,引入,例3 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为p,乙为q，pq,p+q=1.为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a, 乙为b, ab. 现在的问题是：a究竟应比b大多少，才能做到公正？,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,依题意,解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y，,为对双方公正,应有,依题意,E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)p,bp-aq=aq-bp=0,,故,,期望与风险并存．数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策．,例如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)； 如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高．,于是计算期望值：,若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．,而经营工艺品期望值E2＝0.95×1000＝950元．,我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,,,,。