快速平方根算法.docx

快速平方根算法(1)默认分类2010-09-03 06:42:49阅读16评论0 字号：大中小订阅快速平方根算法在 3D 图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化 C 数学函数 库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢我们希望能够在保证足够的精度的同时， 进一步提高速度Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人据 说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli (未经证实)////计算参数x的平方根的倒数//float InvSqrt (float x){float xhalf = 0.5f*x;int i = *(int*)&x;i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根x = *(float*)&i;x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法return x;}该算法的本质其实就是牛顿迭代法(Newton-Raphson Method，简称NR),而NR的基础则是泰勒级数(Taylor Series)。

NR 是一种求方程的近似根的方法首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后 根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度其公式如下：函数： y=f(x)其一阶导数为： y'=f'(x)则方程： f(x)=0 的第 n+1 个近似根为x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])NR 最关键的地方在于估计第一个近似根如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代， 就可以得到满意的解现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题求平方根的倒数，实际就是求方程1/(xT)-a=0的解 将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])将 1/2 放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行接着，我们要设法估计第一个近似根这也是上面的函数最神奇的地方它通过某种方法算出了一个与真 根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解它是怎样做到的呢？所有的 奥妙就在于这一行：i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。

我们知道，IEEE标准下，float类 型的数据在 32 位系统上是这样表示的(大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以 GOOGLE)： bits：31 30 ... 031：符号位30-23：共8位，保存指数(E)22-0：共23位，保存尾数(M)所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*29开根然后倒数就是：MA(-1/2)*2U-E/2)现在就十 分清晰了语句i>>1其工作就是将指数除以2,实现2UE/2)的部分而前面用一个常数减去它，目的就 是得到MU1/2)同时反转所有指数的符号至于那个0x5f3759df,呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了简单来说，其原 理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了最前面的1,所以实际的尾数是1+M如果你在大学上数 学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+MF(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的泰勒级数展开， 而该展开式的第一项就是常数下面给出简单的推导过程：对于实数R>0,假设其在IEEE的浮点表示中，指数为E,尾数为M,则：R*1/2)=(1+M)U-1/2) * 2A(-E/2)将(1+M)*1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：原式=(1-M/2) * 2A(-E/2)=2A(-E/2) - (M/2) * 2A(-E/2)如果不考虑指数的符号的话，(M/2)*2A(E/2)正是(R>>1),而在 IEEE 表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：原式=C - (M/2)*2A(E/2) = C - (R>>1)，其中 C 为常数所以只需要解方程：R*1/2)=(1+M)U-1/2) * 2A(-E/2)= C - (R>>1)求出令到相对误差最小的C值就可以了上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。

而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个 方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年 前就有的数学理论只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化在GameDev net上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过 20%如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004的级数，但速度也会降到和sqrt差不多据说 在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截 (正在努力弄源码，谁有发我一份)值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数(精度最高)是0x5f37642f，并且在实 际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解 的精度将降低得非常厉害(天知道是怎么回事！)经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常 数是0x5f375a86。

如果换成64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为 0x5fe6ec85e7de30da (又一个令人冒汗的 Magic Number--b)这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的如果放到Mac上跑就会挂掉如果 想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了但算法思想是通用的大家可以尝试推算一下相应的平方根算法下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源 了，所以大家可以放心使用，不用担心会收到律师信//// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数//float CarmSqrt(float x){union{int intPart;float floatPart;} convertor;union{ int intPart;float floatPart;} convertor2;convertor.floatPart = x;convertor2.floatPart = x;convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));}另一个基于同样算法的更高速度的 sqrt 实现如下。

其只是简单地将指数除以2，并没有考虑尾数的方根要看懂该代码的话必须知道，在IEEE浮点数的格式中，E是由实际的指数加127得到的例如，如果实 数是0.1234*270,在浮点表示中，E (第23-30位)的值其实为10+127=137所以下面的代码中，要处 理127偏移，这就是常数0x3f800000的作用我没实际测试过该函数，所以对其优劣无从评论，但估计 其精度应该会降低很多float Faster_Sqrtf(float f){float result;_asm{mov eax, fsub eax, 0x3f800000sar eax, 1add eax, 0x3f800000mov result, eax}return result;}除了基于NR的方法外，其他常见的快速算法还有多项式逼近下面的函数取自《3D游戏编程大师技巧》， 它使用一个多项式来近似替代原来的长度方程，但我搞不清楚作者使用的公式是怎么推导出来的(如果你 知道的话请告诉我，谢谢)////这个函数计算从(0,0)到(x,y)的距离，相对误差为3.5%int FastDistance2D(int x, int y){x = abs(x);y = abs(y);int mn = MIN(x,y);return(x+y-(mn>>1)-(mn>>2)+(mn>>4));}////该函数计算(0,0,0)到(x,y,z)的距离，相对误差为8%//float FastDistance3D(float fx, float fy, float fz){int temp;int x,y,z;// 确保所有的值为正x = int(fabs(fx) * 1024);y = int(fabs(fy) * 1024);z = int(fabs(fz) * 1024);// 排序if (y < x) SWAP(x,y,temp)if (z < y) SWAP(y,z,temp)if (y < x) SWAP(x,y,temp)int dist = (z + 11 * (y >> 5) + (x >> 2) );return((float)(dist >> 10));}还有一种方法称为 Distance Estimates (距离评估？)，如下图所示红线所描绘的正八边形上的点为：octagon(x,y) = min((1/p2) * (|x|+|y|), max(|x|,|y|))求出向量v1和v2的长度，则：^(xA2+yA2) = (|v1|+|v2|)/2 * octagon(x,y)到目前为止我们都在讨论浮点数的方根算法，接下来轮到整数的方根算法。

也许有人认为对整型数据求方 根无任何意义，因为会得到类似99人(1/2)=9的结果通常情况下确实是这样，但当我们使用定点数的时候 (定点数仍然被应用在很多系统上面，例如任天堂的 GBA 之类的手持设备)，整数的方根算法就显得非常 重要对整数开平方的算法如下我并不打算在这讨论它(事实是我也没有仔细考究，因为在短期内都不 会用到--b)，但你可以在文末James Ulery的论文中找到非常详细的推导过程//// 为了阅读的需要，我在下面的宏定义中添加了换行符//#define step(shift)if((0x40000000l >> shift) + sqrtVal <= val){val -= (0x40000000l >> shift) + sqrtVal;sqrtVal = (sqrtVal >> 1) | (0x40000000l >> shift);}else{sqrtVal = sqrtVal >> 1;}// 计算 32 位整数的平方根//int32 xxgluSqrtFx(int32 val){// Note: This fast square root function// only works。