第4章解非线性方程-2教学讲义.ppt

4.4 非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations )内容提纲（Outline) 牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示取x0作为初始近似值，将 f (x)在x0做Taylor展开:重复上述过程 作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程 f (x)=0 线性化牛顿法的几何意义xyx*x0 x 1x 2牛顿法也称为切线法, 迭代函数在x*的附近收敛由Taylor 展开：令k ，由 f (x*) 0，即可得结论证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法迭代函数为：思考题1 若 ，Newton法是否仍收敛？设 x* 是 f 的 m 重根，则令： 且Answer1: 有局部收敛性Answer2: 线性收敛思考题2当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？结论：结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取 局部收敛定理对初始值 x0 要求较高x*x0 x0 x0有根根唯一 (全局收敛性定理): 设 f (x)C2a, b, 若(1)f (a) f (b) 0；则由Newton法产生的序列 xk 单调地收敛到f (x)=0 在 a, b 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列xk单调有界保证Newton迭代函数将a , b映射于自身定理4.4.2 将f (x* )在 xk 处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：证明：以为例证明 说明数列 xk 有下界故xk单调递减, 从而xk收敛.令？定理4.4.3 (全局收敛性定理): 设 f (x)C2a, b, 若 (1) f (a) f (b) 0； (2) 在整个a, b上 f (x) 0, f (x) 0 ； (3)则对任何 , Newton 迭代格式产生的序列 都收敛于f (x)=0 的根 x* .注:定理的条件(3) 保证了从 x*两侧任取 x0 , 所得到的数列 xk 均在a , b内.三、计算实例及其程序演示辅助工具: VC程序设计语言 Matlab数学软件 (1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f (x0) 计算步骤(2) 按公式 迭代 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 则终止迭代，取 ;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息例1：用Newton法求方程 的根, 要求 迭代格式一：迭代格式二：取初值 x00.0,计算如下：对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401解：例题2求函数 的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x = 7和 x = 8 之间有一单根；在x =1和x = 2 之间有一重根。

用Matlab画图，查看根的分布情形初值x08.0 时,计算的是单根, The iterative number is 28,The numerical solution is 7.600001481初值x01.0 ,计算的是重根, The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.198631981取初值x08.0,用牛顿迭代公式计算如下：取初值x01.0,用牛顿迭代公式计算如下：小 结(1) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的单根时，牛顿法在 x*的附近至少是平方收敛的2) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的重根时，牛顿法在 x*的附近是线性收敛的3) Newton法在区间a , b上的收敛性依赖于初值x0 的选取4) Newton法的突出优点：收敛速度快 缺点：需计算函数的导数四 重根情形的Newton迭代法重根情形的Newton迭代法是线性收敛的, 且有由此易知若迭代函数为：则Newton迭代格式 为平方收敛.但 m 通常未知,故常用修改方法：令若x*为f (x)的m重根, 则x*为u (x) = 0的单根,取则得:此格式二阶收敛,但要计算二阶导数.4.5 弦截法与抛物线法 一、 单点弦截法 固定一点 P0( x0 , f (x0), 用差商 代替Newton公式中的 , 则得离散化的公式: 称为单点弦截法, 是一种简单迭代法. 几何意义: 依次用弦线代替曲线, 用线性函数的零点作为f (x)零点的近似值. 定理4.5.1 设 f (x)在a , b上满足： (1) f (a) f (b) 0; (2) 在a , b上连续且不变号; (3) 选取初始值 , 使得 , 选 定a , b中的一个, 另一个为 . 则由迭代格式 所产生的序列 xk 单调地收敛于f (x)=0在a , b上的唯一根 x*,且收敛速度是线性的. 二、 双点弦截法 若 用差商 代替Newton公式中的 , 则得公式: 称为双点弦截法. 注：双点弦截法与前面介绍的迭代法有明显区别, 前面所讲述迭代法计算 xk+1时只用到 xk , 故称为单步迭代; 而双点弦截法计算 xk+1时, 却同时用到前面两步的结果 xk-1和 xk , 故称为多步迭代.说明：单点弦截是双点弦截的特殊情况.几何解释：xyx*xk-1xkxk+1Pk-1PkPk+1为 的斜率直线方程为：定理4.5.2 (局部收敛定理) 设 f (x)=0, 如果： (1) f (x)在根 x*的某个领域内有连续的二阶导数, 且(2) 任取 属于该领域;则由双点弦截公式所得序列 收敛于根 x*, 且收敛速度 定理4.5.2 (全局性收敛定理) 设 f (x) C2a , b, 且 (1) f (a) f (b) 0； (2) 在整个a, b上 f (x) 0, f (x) 0 ； (3)则 由双点弦截公式所得序列 收敛于 f (x)=0 的唯一根 x*. 例1：用单点弦截和双点弦截求方程 在2,3内的特殊情况.解: (1) 单点弦截法取 ， 单点弦截公式为：(2) 双点弦截法取 ， 双点弦截公式为：三、弦截法与Aitken迭代法的联系 设对于 在 和 两点处使用弦截法, 则得即为Aitken迭代公式四、抛物线法 若用过三点 和 的抛物线与x 轴交点的横坐标作为 xk+1 , 则得抛物线法或Mlller方法. 一条抛物线有两个实零点时, 取与 xk 较近的那个零点作为xk+1 .4.5 非线性方程组的迭代算法一、不动点迭代格式(简单迭代格式) 取初值 代入计算即可. 二、Newton迭代格式将非线性方程组线性化：设 为 的第k 次近似解, 由Taylor公式得用线性方程组即近似代替 , 用(*)的解作为 的第k+1次近似解, 则得Newton迭代格式：这里例：用牛顿法解方程组取初始值(1,1,1), 计算如下N x y z0 1.0000000 1.0000000 1.0000000012.1893260 1.5984751 1.393900621.8505896 1.4442514 1.278224031.7801611 1.4244359 1.239292441.7776747 1.4239609 1.237473851.7776719 1.4239605 1.237471161.7776719 1.4239605 1.2374711练习：3. Newton 迭代法是如何推出的? 它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进 Newton 迭代公式是什么1. 用牛顿法求方程 在区间 1，2 内2. 的一个实根，要求2. 导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。

首先导出求根方程 ，再对 使用牛顿法得迭代公式 ,用全局收敛性定理或局部收敛性定理讨论其收敛性。