山东建筑大学结构力学研究生专业课考试复习6位移计算2.ppt

§5-5 图乘法 位移计算举例òkidsEIMMòÞ=kiCEI dxMMEI1åòå==DP EIydx EIMM0w=yEI01w×=xtanEI01wa=òBAkdxxMtanEI1aòBAkdxxtanMEI1aÞMi是直线òÞkidxEIMM直杆αMiMi=xtanαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tanαdωåòå==DP EIydx EIMM0w注：①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点1/32/3Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：求梁B点转角位移。

例：求梁B点竖向线位移3l/4PPaaa例：求图示梁中点的挠度PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度MPPlCP=1l/2l/6l 6EIPl 123 =Pl EIC212 =DEIPl 4853 =Pl 65× øöll EIy C22210çèæ××==Dw5Pl/6？？⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形 abdcl/3l/3l/3ω1 ω2y1y2 ()bcadbdacl+++=226ö ødcçèæ+32 3bl+2dc øöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMkab+梯形 Mi 分解 为三角形的和各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负111（1）32649= － 9=15= 332364（3）9（2） 32649（4）236 9＝labdch+bah232dchl+b)非标准抛物线乘直线形E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010= 3.6465 ×104 N m2例： 预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。

已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625 N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625 N/ mö ødcçèæ+32 3bl+2dc øöçèæ+332al=2折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 ×104Nm2200 378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2P=111ly1y2y323=ly32 21==yly12832323==qllqlw4221 2321===qllqlww83 21232 432 414222 = øö çç èæ++=EIqllqllqllql EI()1 332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=ql/2NP=09001 934 34 83 210122212 2423 =====DD= lhbhMN lh bhlAlI EIql EAql2122 =××==DåP NEAql EAlql EAlNN求AB两点的相对水平位移。

36189MPP=1P=163)()®¬=EI-756 øö×××+332 2318çèæ ××××-+ EI643636311øö+ ×××- 2639632(ç èæ ×+×-××+××-=D EI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9 9 99999 ()bcadbdacl+++=226ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2 MPl求B点竖向位移4kN4kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1kN.m 15m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m3510201kN2kN10101020m求A点水平位移25P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2求B点的竖向位移EIql 256174 =lllql EI25 . 023232 212+·-lql EIlB43 2831122··=DEIqlllql EIB843 231142 =·=Dylql EIB283 31 2102 +·=DLq ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0ql2/8MPql2/2 l/2A B2EIEIl/2q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/2ql2/8ql2/4ll/2òò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MP MPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：试求等截面简支梁C截面的转角。

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/5 4l/52ql2/25ql2/8 MP11/54/51=qllqll1258532 252 52122 ú ûù· øö çç èæ ···+··-lql EIC21 83212 ê ëé···=qEIql 100333 =cabdcω1ω2y1y2MiMkö ødcçèæ+32 3bl+2dc øöçèæ+332al=2òyydxMMki+=2211wwcdy1y2l/3l/3l/3ω1 ω2ab2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移 ）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllCABP=1/ lP=1/ll⑤ABP=1/ lP=1/ ll（ ）④AB杆的转角AB连线的转角 AB杆和AC杆的 相对转角40kN2m4m4m2m40kNC习题5-20：求C点挠度 EI=2×108kNcm2120804010 10 40解：设单位载荷状态1作MP、M 图120804010 10 4021作业• 5-22，5-23§5-6 温度作用时的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。

2）假设：温度沿截面高度为线性分布t1t2t0hh1h23）微段的变形 dsdθ αt0dsγ=0 该公式仅适用于静定结构αt1dsαt2ds例 求图示刚架C点的竖向位移各杆截面为矩形aa0 +10+10CP=1P=1－1aN+D=Dååtht NMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t52010 0oo()-+a5aøöçèæ+-=haa315a-=a h23102a例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.解：构造虚拟状态Ni静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0代入得到：仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX例： 求图示桁架制造误差引起的A竖向位移.解：构造虚拟状态Ni最一般情况：外力、温度变化、支座移动、制造误差（视误差为已知变形）应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。

即:线性变形体系P1P2①F1F2②N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理åòøöçèæ++dsGAQkQ EIMM EANN121212å=D=FW①② 21åòøöçèæ++=dsGAQkQ EIMM EANN212121åD=PW②① 12功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21即： W12= W21§5-9 互等定理D②D①二、位移互等定理P1①P2②位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数δ21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12 或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12 Δ21Δ12jij ijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr =cRcR= 212 121RcR×+×=221120cRR×+×221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。

反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12 或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力2）反力互等定理仅用于超静定结构4. 反力位移互等定理:单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发 生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向 的位移，但符号相反的位移，但符号相反反力位移互等定理反力位移互等定理Pl/2l/23Pl/16C A①θΔC②例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度解：W12=W21∵ W21=0∴ W12=PΔC－3Pl/16× θ ＝0ΔC=3lθ /16例：图示同一结构的两种状态，求Δ=？P=1①②m=1m=1ABΔ=θA+ θBθBθAΔ已知图a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，试绘图b的M图.PRc(b)aa/2a/2ABCDΔD0.02m(a)Wab=0=Wba=P·ΔD+RC· ΔCRC=－3P/323Pa/32小结一、虚功原理We=Wi力：满足平衡 位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力） 虚功方程等价于平衡条件 虚力原理（求未知位移） 虚功方程等价于位移条件虚设力系二、Δ=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱 •各项含义•虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移 åòå==DP EIydxEIMM0w•图乘法求位移的适用条件 •y0的取法•标准图形的面积和形心位置•非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理 •适用条件 •内容 W12= W212112dd=r12=r21作业5-26，5-29例. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。

l/2ql/2MPl/2ql/2MP6M1115M。