牵手 法向量 专题辅导 不分版本 试题.doc

牵手 法向量成秋芬 在教材中，法向量只有定义“如果向量a与平面垂直，那么向量a叫平面的法向量”本文说明用法向量解决不少立体几何问题 1. 求距离或直线与平面所成的角 如图1，OA是平面的斜线，O为斜足，AB垂直于于B，设，n是平面的法向量，则AB是A到平面的距离，设为d，是OA与平面所成的角，且与互余，与相等或互补则有 图1 例1. 在棱长为1的正方体中，P为顶面的中心求： （1）点P到面的距离； （2）异面直线与的距离； （3）直线与面所成的角图2 解：建立如图2所示的空间直角坐标系，则 （1）， ， 所以面的一个法向量 又 所以点P到面的距离 （2）， 设由点与向量所确定的平面的一个法向量 又 所以与的距离 （3） 所以 即直线与面所成的角为 2. 解决面面垂直和二面角问题 如图3，设二面角的大小为，且m，n分别是平面的一个法向量，则与相等或互补图3 例2. 在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，求证：平面平面。

图4 证明：建立如图4所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 所以平面ADE的一个法向量 ， 平面的一个法向量 又， 所以平面平面 例3. 已知正三棱柱，D是AC的中点，，求二面角的大小图5 解：建立如图5所示的空间直角坐标系，设正三棱柱底面正三角形边长为a，侧棱长为b，则，， ， 所以 ， ， 于是面的一个法向量 面的一个法向量， 由，得， 即 所以 由图易知，二面角是锐角， 所以，二面角的大小为 当遇到空间距离、线面角、二面角、垂直关系时，不妨尝试用法向量来解。