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高等数学第六版上册课后习题答案高等数学第六版上册课后习题答案 第一章第一章习题 111 设 A( 5)(5 ) B[10 3) 写出 AB AB A\B 及 A\(A\B)的表达式 解 AB( 3)(5 ) AB[10 5) A\B( 10)(5 ) A\(A\B)[10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC  证明 因为x(AB)CxAB xA 或 xB xAC或 xBC  xAC BC 所以 (AB)CAC BC 3 设映射 f  X Y AX BX  证明(1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(AB)f(A)f(B) 证明 因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) yf(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B) (2)因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B) 4 设映射 f  XY 若存在一个映射 g YX 使  其中XIfgoYIgfoIX、IY分别是 X、Y 上的恒等映射 即对于每一个 xX 有 IX xx 对于每一个 yY 有 IY yy 证明 f 是双射 且 g 是 f 的逆映射 gf 1 证明 因为对于任意的 yY 有 xg(y)X 且 f(x)f[g(y)]Iy yy 即 Y 中任意元素都是 X 中某元素的像 所以 f 为 X 到 Y 的满射 又因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)]  x1x2 因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射 对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f  XY AX  证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A  证明 (1)因为 xA  f(x)yf(A)  f 1(y)xf 1(f(A)) 所以 f 1(f(A))A (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y  因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A  6 求下列函数的自然定义域 (1)23 xy解 由 3x20 得 函数的定义域为 32x) ,32[(2)211 xy解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3)211xxy解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1](4)241 xy 解 由 4x20 得 |x|2 函数的定义域为(2 2) (5)xy sin解 由 x0 得函数的定义 D[0 ) (6) ytan(x1)解 由(k0 1 2   )得函数的定义域为(k0 1 2   )21x 12kx(7) yarcsin(x3) 解 由|x3|1 得函数的定义域 D[2 4] (8) xxy1arctan3解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 3) (9) yln(x1) 解 由 x10 得函数的定义域 D(1 ) (10) xey1 解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lg x2 g(x)2lg x(2) f(x)x g(x) 2x(3) 334)(xxxf31)(xxxg(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x  解 (1)不同 因为定义域不同 (2)不同 因为对应法则不同 x0 时 g(x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同 8 设 求   (2) 并作出函数 y(x)  3|| 03|| |sin| )( xxx x)6()4()4(的图形 解     21|6sin|)6(22|4sin|)4(22| )4sin(|)4(0) 2(9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) ( 1) xxy1(2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2时 0)1)(1 (112121221121xxxx xx xxyy所以函数在区间( 1)内是单调增加的 xxy1(2)对于任意的 x1 x2(0 ) 当 x1x2时 有 0ln)()ln()ln( 2121221121xxxxxxxxyy所以函数 yxln x 在区间(0 )内是单调增加的 10 设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若 f(x)在(0 l)内单调增加 证明 f(x)在 (l 0)内也单调增加 证明 对于x1 x2(l 0)且 x1x2 有x1 x2(0 l)且x1x2 因为 f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) 这就证明了对于x1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函 数的乘积是奇函数 证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数 (2)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)[f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2) (2)y3x2x3(3) 2211 xxy(4)yx(x1)(x1)(5)ysin xcos x1(6)2xxaay解 (1)因为 f(x)(x)2[1(x)2]x2(1x2)f(x) 所以 f(x)是偶函数 (2)由 f(x)3(x)2(x)33x2x3可见 f(x)既非奇函数又非偶函数 (3)因为 所以 f(x)是偶函数  )(11 1)(1)(2222 xfxx xxxf(4)因为 f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x) 所以 f(x)是奇函数 (5)由 f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数 (6)因为 所以 f(x)是偶函数 )(22)()()(xfaaaaxfxxxx13 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期 (1)ycos(x2)解 是周期函数 周期为 l2 (2)ycos 4x解 是周期函数 周期为2l(3)y1sin x解 是周期函数 周期为 l2(4)yxcos x解 不是周期函数(5)ysin2x解 是周期函数 周期为 l14 求下列函数的反函数 (1) 31 xyr(3)r(3)解 由得 xy31 所以的反函数为 yx3131 xy31 xy(2)xxy11f(1 - x)解 由得 所以的反函数为xxy11 yyx11 xxy11 xxy11(3)(adbc0) dcxbaxy解 由得 所以的反函数为dcxbaxyacybdyxdcxbaxyacxbdxy(4) y2sin3x 解 由 y2sin 3x 得 所以 y2sin3x 的反函数为2arcsin31yx2arcsin31xy(5) y1ln(x2) 解 由 y1ln(x2)得 xey12 所以 y1ln(x2)的反函数为 yex12(6) 122 xxy解 由得 所以的反函数为122 xxyyyx1log2122 xxyxxy1log215 设函数 f(x)在数集 X 上有定义 试证 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条 件是它在 X 上既有上界又有下界 证明 先证必要性 设函数 f(x)在 X 上有界 则存在正数 M 使|f(x)|M 即 Mf(x)M 这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M 再证充分性 设函数 f(x)在 X 上有下界 K1和上界 K2 即 K1f(x) K2  取 Mmax{|K1| |K2|} 则 M K1f(x) K2M  即 |f(x)|M 这就证明了 f(x)在 X 上有界 16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于 给定自变量值 x1和 x2的函数值 (1) yu2 usin x   61x32x解 ysin2x 41)21(6sin221y43)23(3sin222y(2) ysin u u2x 81。