动态电路的向量分析法.ppt

第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法,“你能记住任何一则新信息，如果它与你已知或已经记住的有联系——珍妮特.沃斯等《学习的革命》第146页上海三联书店（1998年译本）,第八章 阻抗和导纳,第三篇转入动态电路的变换（域）分析，这类方法题材广泛，内容丰富本书只涉及其中的相量分析法和复频域（s）分析法、在“信号与系统”和其他有关课程中将会学到更多的变换方法引入“变换”思路，并体会到它带来的巨大好处是本篇的主旨从第八章至第十一章为正弦稳态的相量分析法在第六章中，我们曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是用待定系数法求解电路微分方程的特解得出答案的，即便电路很简单，也感到很麻烦当我们把时间t的正弦函数变换为相应的复数（相量）后，解微分方程特解的问题就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就需要引入阻抗和导纳这两个相量分析中的重要参数，本章将说明这些问题教学内容,§ 8-1 变换方法的概念 § 8-2 复数 § 8-3 振幅相量 § 8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 § 8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式 § 8-6 VCR相量形式的统一—阻抗和导纳的引入 § 8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—相量模型的引入,§ 8-8 正弦稳态混联电路的分析 § 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析 § 8-10 相量模型的等效 § 8-11 有效值 有效值相量 § 8-12 两类特殊问题 相量图法,本章基本内容,1、正弦量、相量和有效值的基本概念 2、电路定律的相量形式 3、阻抗和导纳的概念 4、正弦稳态电路的计算,教学目的,1、深刻理解正弦量、相量和有效值的概念； 2、熟练掌握R，L，C元件伏安关系的相量形式； 3、深刻理解阻抗与导纳的概念和性质; 4、熟练掌握正弦稳态电路的计算方法； 5、会借助相量图计算正弦稳态电路的响应。

§8－1 变换方法的概念,变换方法的基本思路如图8-1所示，均可分为三个步骤：,1.把原来的问题变换为一个较容易处理的问题 2.在变换域中求解问题 3.把变换域中求得的解答反变换为原来问题的解答原来运用变换思路来求解问题的例子例如，求解满足方程式,的实数x问题直接求解是很困难的，如果对（8-1）式的两端取对数后再做，求解就很容易取对数后，得,因此,解得,借助对数表就能顺利地进行解算上述计算过程大家并不陌生实际上，它就是一种变换方法，对照图8-1，这一计算过程可表如图8-2所示8-2）式可看作是（8-1）式的变换，变换不仅改变了数值（lg5当然与5不同）还改变了数值间的运算方式8-1）式左端的指数运算变换成（8-2）式左端的乘法运算求解（8-2）式并不困难，其结果如（8-3）式所示但这一结果还是“变换域中的解答”，并非就是我们所要的结果为得到这一结果，还需进行反变换，即对（8-3）式两端取反对数，最后得出解答从上例可注意到，我们所说的变换，实际上是一个函数y=lgx，它是一种对每一正实数x和另一实数y之间指定的运算规则它们应具有一一对应的性质§8－2 复 数,一、复数的概念,其中 ，为虚数单位，j2＝-1。

1、直角坐标形式,设A为一复数，a1及a2分别为其实部及虚部，则,实部：,虚部：,注意：虚部是指a2，而不是指ja22、极坐标形式,又根据欧拉恒等式,（8-6）式可进一步写作,（8-7）式可简写作,可读为“a在一角度θ”复数A在复平面上可以用有向线段来表示在原点O与点A之间连一直线把这直线的长度记作a，称为复数A的模，模总是取正值在这直线A端加上箭头，把它和实轴正方向的夹角记作θ，称为复数A的辐角这样，复数A在复平面上就可以用有向线段来表示，也就是说用模a和辐角θ来表示根据这一表示方式，可以得到复数的另一形式：,,二、复数的四则运算,因此，复数的加、减运算必须用直角坐标形式进行1、相等：若两复数的实部和虚部分别相等或模和辐角分别相等，则这两复数相等例如：若a1＝ReA、 b1＝ReB， a2＝ImA、 b2＝ImB，且a1＝ b1 ，a2＝ b2则 A＝B,2、加减运算：几个复数的相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加或相减例如:,复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示（几何意义）求两复数之和的运算在复平面上是符合平行四边形求和法则的这是表明复数之和的一种很方便的方法，以后经常用到。

3、乘法运算：复数相乘时，其模相乘，其辐角相加4、除法运算：复数相除时，其模相除，其辐角相减注意：一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐标形式来进行乘除运算或,,或,作业：P54 8-1,8-2,§8－3 振幅相量,一、正弦函数信号的三特征,从RC电路的正弦响应的求解可知，求微分方程比较麻烦， 特别是常数Um 和ψ的确定而且电路越复杂，求解越麻烦时间t的正弦函数，以正弦电压为例，可表为,正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态由于在正弦稳态电路中，各个电压、电流响应与激励均为同频率的正弦波，正弦波的三特征降为两个特征，从而利用欧拉恒等式，可把给定ω的正弦函数变换为复平面上的相量相量分析法实质上是一种专用以分析正弦稳态电路的变换方法二、正弦函数在复平面上的表示—相量法,欧拉恒等式为,式中θ为一实数（单位为孤度），可以把这一公式推广到θ为t的实函数的情况，如θ＝ωt，其中ω为常量，单位为rad/s这样便得到,这一式子把一个实变数的复指数函数和两个实变数t的正弦函数相联系，这样就可以把时间t的正弦函数变换为复数由上式可得：,设正弦电压为,就可以把它写作,其中,是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐角为该正弦电压的初相。

这一复值常数称为电压振幅相量，同样也有电流振幅相量 为了简便，在不致引起误解时，常称为相量相量只是一个复数，但它具有特殊的意义，它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相量的字母上端需加一点变换简单易行例如，已知,则由（8－11）式可得该电压的相量为,相反，如已知,相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比５和lg5间,不能划等号是一样的以电压为例，相量及其所对应的正弦波之间的完整关系由（8－10）式表明这一关系可用双箭头符号表示也就是说，若,则,时间t的正弦函数属时域，相量属复数域，给定频率的正弦时间函数和复数（相量）之间有着一一的对应关系，也可用图8－6表明注意：,(1)相量是一个表示时域正弦函数到复数域变换的的特殊复数,二者具有一一对应关系， 但两者间不能画等号2)电压(流)相量是一个不随时间变化的复常数,其模为正弦电压(流)的振幅Um(Im),相角为正弦电压(流)的初相角ψ3)作为一个复数，相量在复平面上可用有向线段表示，如图8－8所示相量在复平面上的图示称为相量图利用相量图可以进行相量加减运算或比较相量间的相位关系。

故得代表i3的相量为,这三个电流的相量图如图8-9所示作业:P55 8-3,§8－4 相量的线性性质和基尔霍夫定律 的相量形式,,第二步 在变换域中把以上两相量相加，得,上述的例子反映了相量的一个重要性质，即,一.线性性质 表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合由线性性质可得基尔霍夫定律的相量形式由KCL可知：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数和为零设线性时不变电路在单一频率ω的正弦激励下(正弦电源可以有多个，但频率必须相同）进入稳态时，各处的电压、电流都将为同频率的正弦波因此，在所有时刻，对任一节点KCL可表示为,由线性性质得,其中:,为流出该节点的第k条支路正弦电流ik的振幅相量，K为该节点处的支路数二.基尔霍夫定律的相量形式,同理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：,结论：在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出解:由已知:,其中:,作业:P55 8-7,§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式,在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容及电感元件的VCR分别为,在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。

为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面将导出这三种基本元件VCR的相量形式设要研究的元件接在一正弦稳态电路中，元件两端的电压和流过的电流为关联参考方向，可表示为：,其中,我们的任务是求出相量 与 的关系一、电阻元件VCR的相量形式,由图(a)所示电路，据欧姆定律 u=Ri 得,由于R是常数，这一式子表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流同步变化，即是同相的上式和图 (c)表明的都是电压的时间函数与电流的时间函数之间的关系，称为时域式据线性性质,因此：,这就是我们要求的电阻元件VCR的相量形式它既能表明电压、电流振幅之间的关系，又能表明电压、电流相位之间的关系包含两方面内容,电压和电流振幅符合欧姆定律,电压和电流是同相的,对纯电阻电路可以不必用相量法电阻VCR的相量关系式主要用于一般正弦稳态电路（含R、L、C等各种元件）的分析二、电容元件VCR的相量形式,由,(8-28),表明电压、电流振幅的关系不仅与C有关而且还与角频率ω 有关，而电阻元件的这一关系是与ω无关的当C值一定时，对一定的Um来说， ω越高则Im越大，即电流越容易通过；ω越低则Im越小，即电流越难通过。

当ω＝0（相当于直流激励）时，Im＝0，电容相当于开路，这正是直流稳态时电容应有的表现电流超前电压的角度为90°电容电压、电流的时间函数表示式若,则,三、电感元件VCR的相量形式,对电感元件来说，考虑到它的VCR与电容的VCR存在对偶关系，因此，由电容VCR相量形式可得到电感VCR的相量形式8-31),表明电压、电流振幅的关系不仅与L有关而且还与角频率ω 有关当L值一定时，对一定的Im来说， ω越高，则Um越大；ω越低，则Um越小当ω＝0（相当于直流激励）时，Um＝0，电感相当于短路电流滞后电压的角度为90°作业:P56 8-9,§8-6 VCR相量形式的统一 —阻抗和导纳的引入,上节讨论了三种基本元件VCR的相量形式，在关联参考方向的前提下，它们是,定义1—元件的阻抗,定义2-元件的导纳,(8 - 44),定义3—L和C的电抗:定义 Z=jX, X为电抗,,定义4—L和C的电纳:定义 Y=jB,即B=Im[Y],对电容：,即:X=Im[Z],对电容:,对电感：,对电感：,定义5—阻抗定义的推广:不含独立源的单口网络的阻抗和导纳,(1),说明:阻抗Z和导纳Y是用复数形式描述正弦稳态电路的原（主）参数，即是与RLC等时域基本电路参数对应的复数域参数。

3) 对单个元件,其阻抗角分别为:,作业:P56 8-11,§8-7 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比—相量模型的引入,一.电路相量模型的概念:对正弦稳态电路中的元件(RLC)用阻抗或导纳表示时的假想的电路模型是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析计算的假想的模型二.RLC正弦稳态电路的相量模型与电阻电路时域模型的类比,电阻电路 RLC正弦稳态电路,元件 电阻R 阻抗Z或导纳Y=1/Z,欧姆定律 基本形式,适用范围 电阻电路或 正弦稳态RLC电路或只含电阻的一般单口网络 含RLC的一般单口网络,。