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多重共线性的解决之法第七章多重共线性教学目的及要求:1、 重点理解多重共线性在经济现象中的表现及产生的原因和后果2、 掌握检验和处理多重共线性问题的方法3、 学会灵活运用Eviews软件解决多重共线性的实际问题第一节多重共线性的产生及后果一、多重共线性的含义1、含义在多元线性回归模型经典假设中，其重要假定之一是回归模型的解释变量之间不 存性关系，也就是说，解释变量X], X2 Xk中的任何一个都不能是其他解 释变量的线性组合如果违背这一假定.即线性回归模型中某一个解释变量与其他解 释变量间存 性关系，就称线性回归模型中存在多重共线性多重共线性违背了解 释变量间不相关的古典 假设，将给普通最小二乘法带来严重后果2、类型多重共线性包含完全多重共线性和不完全多重共线性两种类型1) 完全多重共线性完全多重共线性是指线性回归模型中至少有一个解释变量可以被其他解释变量线 性表示， 存在严格的线性关系如对于多元线性回归模型X = 0o + AX” + F 2 X?： + ..・+ 0kXki + H (7-1)存在不全为零的数人以2,...，人，使得下式成立：人 X” + /UX2f. + ..・ + AjXki = 0 (7-2)则可以说解释变量xrx2, -,X，之间存在完全的线性相关关系，即存在完全多重共 线性。

从矩阵形式来看，就是IX XI = O,即rank(X)

)经济变呈间存在较密切关系由于组成经济系统的各要素之间是相互影响相互制约的，因而在数量关系上也会存在一定联 系如耕地面积与施肥量都会对粮食总产量有一定影响，同时，二者本身 存在密切关系三)采用滞后变呈作为解释变呈较易产生多重共线性一般滞后变量与当期变量在经济意义上关联度比较密切，往往会产生多重共线 性如在研究消费规律时，解释变量因素不但要考虑当期收入，还要考虑以往各期收 入，而当期收入与滞后 收入间存在多重共线性的可能很大四）数据收集范围过窄，有时会造成变呈间存在多重共线性问题三、多重共线性产生的后果由前述可知，多重共线性分完全多重共线性和不完全多重共线性两种情况，两种情况都会 对模型进行最小二乘估计都会产生严重后果完全多重共线性产生的后果以二元线性回归模型为例，丫 = 0U + 01X” + P^2i +11 i （7-4）以离差形式表示，假设其中儿二匕-匚x厂九-八x2/ = X2r.-X2,Xu =AX2U常数2人0,则,匕=4% ,］的最小二乘估计量为k工尤工时一（工心占）2 JX x；》(7-5)(7-6)X2iyi-/i》x；工 X2M _0■ —Q2 （》x； y_，（》x； .） 2 0同理得到：可见参数估计值A和久无法确定。

再考察参数估计量的方差，由前面章节可知：(7-7)var（Aj=EXHZX2i-（SXhX2i）2 项将X” = 2x2j代入上式，则(7-8)弓：X '才 QX） 2*（》X； ） 2=00说明此种情况下久方差为无穷大00同理可以证明久的方差在完全共线性下也为无穷大以上分析表明，在完全多重共线性条件下，普通最小二乘法估计的参数值不能确 定，并且 估计值的方差为无穷大)不完全多重共线性产生的后果假设上述二元线性回归模型中解释变量X “与X,的关系为Xu = ^^^2i + (7-9)其中儿为随机项，满足E(U)= O,工X?必=0,代入人估计表达得：A'_[工人(加 2, +岭)](工 (工 xm)[H X2“X2i+U ]1 [s (2x 2/ + v,-)2 ] (s x 1,.) -[z x 2/ (Ax 2/ + )]2(7-10)由于工分工0,因而久是可确定估计的，但是其数值依赖儿的数值，而儿的数值随样本的变化 有较大变化，所以A估计值是很不稳定的同理可以证明八也是可估计的，且数值具有不稳定性考察估计量的方差：由(7 1)式可知兄是X”、X?,的相关系数，因此八 =工_ (7-11)ZXbZX2r riir22参数估计量的方差可表达为：M——勺Ex1/Xx2/-(Ex1/X2/)（7-12）1-希其中心为X”・和之间的相关系数，从（7-12）式可见，冷2 1的值越 大，则共线程度 越高，估计量方差var（气）越大，直至无穷。

综上所述，线性回归模型解释变量间存在多重共线性可能产生如下后果：增大最 小二乘估 计量的方差；参数估计值不稳定，对样本变化敏感；检验可靠性降低，产生 弃真错误由于参数 估计量方差增大，在进行显著性检验时，t检验值将会变小，可能 使某些本该参数显著的检验结 果变得不显著，从而将重要变量舍弃第二节多重共线性的检验多重共线性是较为普通存在的现象.从上节分析可知，较高程度的多重共线性会对最小二 乘估计产生严重后果.因此，在运用最小二乘法进行多元线性回归时，不但 要检验解释变量间是 否存在多重共线性，还要检验多重共线性的严重程度n不显著系数法情况1、炉很大，（小不显著系数法是利用多元线性回归模型的拟合结果进行检验如果拟合优度，的 值很大（一 般来说在0.8以上），然而模型中的全部或部分参数值估计值经检验却不显 著.那么解释变量间 有可能存在较严重的多重共线性情况2、理论性强，检验值弱如果从经济理论或常识来看某个解释变量对被解释变量有重要影响，但是从线性回归模型的 拟合结果来看，该解释变量的参数估计值经检验却不显著.那么可能是解释变量间存在多重共线 性所导致的情况3、新引入变量后，方差增大在多元线性回归模型中新引入一个变量后，发现模型中原有参数估计值的方差明显 增大，则 说明解释变量间可能存在多重共线性。

二、 拟合优度卅检验对多元线性回归模型中各个解释变量相互建立回归方程，分别求出各回归方程的 拟和优度・ 如果其中最大的一个接近1,行显著大于临界值，该变量可以被其他变量线性解释.则其所对应的 解释变量与其余解释变量间存在多重共线性如设某多元线性回归模型中原有斤个解释变量x「X2,...,X-将每个解释变量对其 他解释变量 进行回归，得到&个回归方程：Xl/(X2，XwXQX2=/(X„X3,-X,)X//(XI,X2,...,XQ分别求出上述各个方程的拟合优度时，R ,・・・R；，如果其中最大的一个用接近于1,则它所 对应的解释变量尢与其余解释变量间存在多重共线性三、 相关矩阵法考察多元线性回归模型y = 0() + 0N+...+ 0N (7-13)其解释变量之间的相关系数矩阵为:5“2 •・.・M1八2■ ■ ■R =121…rnr21 1•••5■ ■ • ■ ■ • • . ■/h %...1 ■因为,所以上面相关阵为对称阵，G； =i,只需考察主对角线元素上方(7-⑷（或下方）某个元素绝对值是否很大（一般在0.8以上），就可以判断两个解释变量间是否存在 多重共线性结论：另外需要特别注意的是，如果相关系数很大，则一定存在多重共线性，如果相关 系数很 小，不一定没有多重共线性。

四、Frisch综合分析法1、方法及分析标准Frisch综合分析法也叫逐步分析估计法，其基本思想是先将被解释变量对每个解释变量作 简单回归方程，称为基本回归方程再对每一个基本回归方程进行统计检 验，并根据经济理论分 析选出最优基本方程，然后再将其他解释变量逐一引入，建立一系列回归方程，根据每个新加的 解释变量的标准差和复相关系数来考察其对每个回归系数的影响，一般根据如下标准进行分类判 别：1 •如果新引进的解释变量使用得到提高・而其他参数回归系数在统计上和经济理 论上仍然 合理.则认为这个新引入的变量对回归模型是有利的，可以作为解释变量予 以保留2 •如果新引进的解释变量对炉改进不明显，对其他回归系数也没有多大影响，则不必保 留在回归模型中3 •如果新引进的解释变量不仅改变了 &,而且对其他回归系数的数值或符号具 有明显影响，则可认为引进新变量后，回归模型解释变量间存在严重多重共线性这 个新引进的变量如果 从理论上分析是十分重要的，则不能简单舍弃.而是应研究改善 模型的形式，寻找更符合实际的 模型，重新进行估计如果通过检验证明存在明显线 性相关的两个解释变量中的一个可以被另一 个解释，则可略去其中对被解释变量影响 较小的那个变量，模型中保留影响较大的那个变量。

2、具体实例例7 1设某地10年间有关服装消费、可支配收入、流动资产、服装类物价指 数、总物价指数的调查数据如表7-1，请建立需求函数模型表7-1服装消费及相关变量调查数据年份服装开支C（百万元）可支配收入Y（百万元）流动资产L（百万元）服装类物价指 数Pc 1992年 =100总物价指数Po1992 年=10019888.482.917.1929419899.68&021.39396199010.499.925.19697199111.4105.329.09497199212.2117.734.0100100199314.2131.040.0101101199415.8148.244.0105104199517.9161.849.0112109199619.3174.251.0112111199720.8184.753.0112111(1)设对服装的需求函数为C = A) + Y + 02 A +。