设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为 I :一、函数的单调性一、函数的单调性 注注: 函函数数是是增增函函数数还还是是减减函函数数是是对对定定义义域域内内某某个个区区间间而而言言的的. 有有的的函函数数在在一一些些区区间间上上是是增增函函数数, 而而在在另另一一些些区区间间上上可可能能是是减函数减函数. . 如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值 x1, x2, 当当 x1f(x2), 那那么么就就说说 f(x) 在在这这个个区区间间上是减函数上是减函数. 如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数或或减减函函数数, 那那么么就就说说函函数数 y=f(x) 在在这这一一区区间间上上具具有有( (严严格格的的) )单单调调性性, 这这一一区区间间叫叫做做函函数数 y=f(x) 的的单调单调区区间间.二、单调区间二、单调区间1.取取值值: 对对任意任意 x1, x2∈∈M, 且且 x10(<0) 的解集是区间的解集是区间 D; 不等式不等式 f (x)≥≥0(≤≤0) 对于对于 x D 恒成立恒成立. 若函数若函数 f(x) 可导可导, 1.试求函数试求函数 f(x)=ax+ (a>0, b>0) 的单调区间的单调区间.xb解解: ∵∵函数函数 f(x) 的的定定义义域域为为(-∞-∞, 0)∪∪(0, +∞∞), 典型例题典型例题函数函数 f(x) 的导函数的导函数 f (x)=a- - = , bx2ax2- -b x2∴∴函数函数 f(x) 的单调递增区间是的单调递增区间是 (-∞-∞, - - ) 与与 ( , +∞∞), abab函数函数 f(x) 的单调递减区间是的单调递减区间是 (- - , 0) 与与 (0, ). abab令令 f (x)<0 得得: x2< - - 0 得得: x2> x<- - 或或 x> ; ababab ②②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但但必须注意必须注意, 如果函数的解析式含有如果函数的解析式含有参数参数, 而且参数的取值影响而且参数的取值影响函数的单调区间函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行这时必须对参数的取值进行分类讨论分类讨论. 注注: ①①这这个函数的个函数的单调单调性十分重要性十分重要, 应应用非常广泛用非常广泛, 它的它的图图象象如如图图所示所示:oyx2 ab- -2 ab baba- - 2.试讨论函数试讨论函数 y=2log2 x- -2log x + 1 的单调性的单调性.1212解解: 令令 t=log x, 则则 t 关于关于 x 在在 (0, +∞∞) 上单调递减上单调递减. 12而而 y=2t2- -2t+1 在在 (-∞-∞, ] 上单减上单减, 在在 [ , +∞∞) 上单增上单增,1212又由又由 t≤ 得 得 x≥ ≥ , 1222由由 t≥≥ 得得 00 得得: x<- -1 或或 01. 故故 g(x) 的单调递增区间是的单调递增区间是 (- -∞∞, - -1) 与与 (0, 1); 单调递减区间是单调递减区间是 (- -1, 0) 与与 (1, +∞∞). 4.已知已知 f(x)=8+2x- -x2, 若若 g(x)=f(2- -x2), 试确定试确定 g(x) 的单调区间的单调区间. 5.已知已知f(x)是定义在是定义在R上的增函数上的增函数, 对对x∈∈R有有f(x)>0, 且且f(5)=1, 设设F(x)=f(x)+ , 讨论讨论 F(x) 的单调性的单调性, 并证明你的结论并证明你的结论. f(x) 1 分析分析: 这这是抽象函数的是抽象函数的单调单调性性问题问题, 应该应该用用单调单调性定性定义义解决解决. 解解: 在在 R 上任取上任取 x1, x2, 设设 x1f(x1) 且且: F(x2)- -F(x1)=[f(x2)+ ]- -[f(x1)+ ] f(x1)1f(x2)1=[f(x2)- -f(x1)][1- - ]. f(x1)f(x2) 1∵∵f(x) 是是 R 上的增函数上的增函数, 且且 f(5)=1, ∴∴当当 x<5 时时 05 时时 f(x)>1.①①若若 x10, ∴∴F(x2)x1>5, 则则 f(x2)>f(x1)>1, ∴∴f(x1)f(x2)>1, 综上综上, F(x) 在在 (- -∞, 5) 上上为减函数为减函数, 在在 (5, +∞) 上上为增函数为增函数.∵∵f(x2)- -f(x1)>0, ∴∴F(x2)>F(x1). ∴∴1- - >0, f(x1)f(x2) 1 6.已知函数已知函数 f(x) 的定义域为的定义域为 (- -∞, 0)∪∪(0, +∞), 且满足条件且满足条件:①① f(xy)=f(x)+f(y), ②② f(2)=1, ③③ 当当 x>1 时时, f(x)>0. (1)求证求证: f(x)为偶函数；为偶函数；(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x- -3)≤2的的解集解集.(1)证证: 在在①①中令中令 x=y=1, 得得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令令 x=y=- -1, 得得 f(1)=f(- -1)+f(- -1)f(- -1)=0. 再令再令 y=- -1, 得得 f(- -x)=f(x)+f(- -1)=f(x). ∴∴f(x) 为偶函数为偶函数. 先讨论先讨论 f(x) 在在 (0, +∞) 上的单调性上的单调性, 任取任取x1, x2, 设设x2>x1>0, ∴∴f(x2)>f(x1). ∴∴f(x) 在在 (0, +∞) 上是增函数上是增函数, ∴∴由由 (1) 知知, f(x) 在在(- -∞, 0) 上是减函数上是减函数. ∵∵偶函数偶函数图图象关于象关于 y 轴对轴对称称, (2)解解: 在在①①中令中令 y= , 得得: x1∴∴由由③③知知 f( )>0. x2 x1 ∵ ∵ >1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =- -f(x), x 1 x 1 则则 f(x2)- -f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解解: ∵∵f[x(x- -3)]=f(x)+f(x- -3)≤2, 由由 ①①、、②② 得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(- -4), 1) )若若 x(x- -3)>0, ∵∵ f(x) 在在 (0, +∞) 上为增函数上为增函数, ∴∴由由 f[x(x- -3)]≤f(4) 得得: 2) )若若 x(x- -3)<0, ∵∵ f(x) 在在 (- -∞, 0) 上为减函数上为减函数, ∴∴由由 f[x(x- -3)]≤f(- -4) 得得: x(x- -3)>0 x(x- -3)≤≤4 x<0 或或 x>3 - -1≤≤x≤≤4 - -1≤≤x<0 或或 30, ∴∴f(x2- - x1)>1. ∴∴f(x2- - x1)- -1>0. ∴∴f(x2)- -f(x1)>0 即即 f(x2)>f(x1). ∴∴f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数. (2)解解: ∵∵f(4)=5, 令令 a=b=2 得得: f(4)=f(2)+f(2)- -1, 从而从而 f(2)=3.∴∴原原不等式等价于不等式等价于 f(3m2- -m- -2)0 时时, 有有 f(x)>1. (1)求证求证: f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数; (2)若若 f(4)=5, 解不等式解不等式 f(3m2- -m- -2)<3. ∵∵ f(x) 的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称, 且对定义域内的任意且对定义域内的任意 x, 有有: 8.已知函数已知函数 f(x)= - -log2 , 求函数求函数 f(x) 的定义域的定义域, 并讨论并讨论它的奇偶性和单调性它的奇偶性和单调性.1x1- -x 1+x 解解: 要使函数有意义必须要使函数有意义必须: x 0, 1- -x 1+x >0. 解得解得: - -10. 1x2 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 又对任意的又对任意的 x1, x2∈∈(0, 1) 且且 x10, 且有且有: 1x1 1x2 1+x2>1+x1>0; 1- -x1>1- -x2>0, 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 ∴∴ - - >0. ∴∴ log2 - -log2 >0. 1- -x1 1+x1 1- -x2 1+x2 即即 f(x1)>f(x2). ∴∴函数函数 f(x) 在在 (0, 1) 内单调递减内单调递减. 由于由于 f(x) 是奇函数是奇函数, 故故函数函数 f(x) 在在 (- -1, 0) 内也单调递减内也单调递减. 。
