大学课件高等数学下学期74多元复合函数的求导法则.ppt

1/26一、复合函数求导的链式法则一、复合函数求导的链式法则三、一阶全微分形式的不变性三、一阶全微分形式的不变性第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则二、复合函数的高阶偏导数二、复合函数的高阶偏导数四、小结四、小结2/26复合函数为复合函数为 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量的情形的情形.一、复合函数求导的链式法则一、复合函数求导的链式法则3/26则复合函数则复合函数偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算具有连续偏导数具有连续偏导数,1、定理、定理4/26证证. . 可微可微由于函数由于函数有有连续偏导数连续偏导数5/26同理可证另一个公式同理可证另一个公式6/26 变量树图变量树图uv7/262、项数、项数3、每一项、每一项中间变量中间变量函数对中间变量的偏导数，乘以中函数对中间变量的偏导数，乘以中间变量对其间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数.的个数的个数.公式特征：公式特征：1、偏导数公式个数＝自变量个数、偏导数公式个数＝自变量个数8/26中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形类似地推广类似地推广,复合函数复合函数在对应点在对应点的两个偏导数存在的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:9/26解解. .例例1.1. 10/26例例2.2. 设设解解. . 求求 .11/26二、复合函数的高阶偏导数二、复合函数的高阶偏导数对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法. 例例3.3. 设设 f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 解解. .12/26ursxtf具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 13/26 u对中间变量对中间变量 r,s 的的偏导数偏导数 从而也是从而也是自变量自变量x, t 的复合函数的复合函数.都是都是x, t 的函数的函数,注注2注注1为了书写简便为了书写简便, ,常引进记号常引进记号: :表示对第一个中间变量求偏导表示对第一个中间变量求偏导,表示对第二个中间变量求偏导表示对第二个中间变量求偏导,表示先对第一个中间变量求偏导表示先对第一个中间变量求偏导,再再对第二个中间变量求偏导对第二个中间变量求偏导.14/26 解解. .15/262、、 中间变量为中间变量为一元函数一元函数的情形的情形.定理定理且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算:具有连续偏导数具有连续偏导数,导数导数称为称为全导数。

全导数16/26复合函数的复合函数的中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广变量树图变量树图17/26例例5.5. 设设 求求这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 yuvx解解. . 法一法一可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.18/26即即两者的区别两者的区别3.的情形的情形.把复合函数把复合函数中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数把把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数19/26例例6.6. 设设 求求 解解. .20/26 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方满足方程程提示提示t, y 为中间变量为中间变量, x, y 为自变量为自变量.引入中间变量引入中间变量,则则练习练习21/26具有连续偏导数具有连续偏导数, 则有则有全微分全微分则有全微分则有全微分全全微微分分形形式式不不变变性性的的实实质质三、一阶全微分形式的不变性三、一阶全微分形式的不变性22/26解解. .例例7.7.注：注：通过全微分求所有一阶偏导数通过全微分求所有一阶偏导数,比链比链式法则求偏导数有时会显得灵活方便式法则求偏导数有时会显得灵活方便.23/26思考题思考题正确的是正确的是( ).24/26思考题解答思考题解答令令则则两边对两边对t求导求导,得得25/26多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 (链式法则链式法则)全微分形式不变性全微分形式不变性(理解其实质理解其实质)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导四、小结四、小结。