章末综合测评(三) 三角恒等变换(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y＝＋的值域是( )A．{0，2} B．{－2，0}C．{－2，0，2} D．{－2，2}C [y＝＋.当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.]2．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于( )A．－ B．－C． D．C [sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos 10°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝，故选C.]3．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 的值等于( )A． B．C． D．A [∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，则sin ＝sin αcos －cos αsin ＝×＋×＝.故选A.]4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，则cos 2α＝( )A． B．－ C．－ D．A [向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，可得tan αcos α＝，即sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，故选A.]5．若将函数f(x)＝2sinx cos x－2sin2x＋1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A． B．C． D．C [将函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos 2x＝sin 的图象向右平移φ个单位，可得y＝sin ＝sin 的图象．再根据所得图象关于y轴对称，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，故φ的最小正值是.]6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2，3)，则tan ＝( )A．－ B． C． D．－D [依题意，角α的终边经过点P(2，3)，则tan α＝，tan 2α＝＝－，于是tan＝＝－.]7．设奇函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1，1]内有9个零点，则ω的取值范围为( )A．[4π，5π) B．[4π，5π]C． D．A [∵f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin ，∴φ－＝kπ(k∈Z)，∴2T≤10，cos α<0，由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，所以sin α＝.]15．已知β∈，满足tan (α＋β)＝，sin β＝，则tan α的值为________． [因为β∈，sin β＝，所以cos β＝，所以tan β＝＝，又因为tan (α＋β)＝，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝.]16．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________． [f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin ，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.(1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin 的值．[解] (1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝.(2)根据二倍角公式与诱导公式可得：cos 2α＋sin ＝1－2sin2α＋cosα＝1－＋＝.18．(本小题满分12分)计算：(1)；(2)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.[解] (1)＝＝＝＝sin 30°＝.(2)由tan (25°＋35°)＝＝，可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝.19．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin (θ－φ)＝，0<φ<，求cos φ的值．[解] (1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sinθ＝±，cos θ＝±，又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，则cos (θ－φ)＝＝，∴cosφ＝cos [θ－(θ－φ)]＝cos θcos (θ－φ)＋sin θsin (θ－φ)＝.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos －sin .(1)判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；(2)若θ为第一象限角，且f ＝，求cos 的值．[解] (1)结论：函数f(x)为定义在R上的偶函数．证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)＝cos －sin ＝cos ＝cos x，所以f(－x)＝cos (－x)＝cos x，所以f(－x)＝f(x).因此，函数f(x)为定义在R上的偶函数．(2)因为f ＝cos ＝，所以cos ＝.由于θ为第一象限角，故sin ＝.所以cos ＝cos ＝sin ＝2sin cos ＝2××＝.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．[解] (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x＝cos 2x sin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin ，∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.(2)由f(α)＝，得sin ＝1.∵α∈，则<4α＋<，所以4α＋＝π，故α＝π.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x(x∈R).(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．[解] (1)f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2＋1＝2sin ＋1.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).因为x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为，.(2)依题意，得2sin ＋1－t＝1，所以t＝2sin ，即函数y＝t与y＝2sin 的图象在内有两个交点．因为x∈，所以2x＋∈.当2x＋∈时，sin ∈，y＝2sin ∈[1，2]；当2x＋∈时，sin ∈，y＝2sin ∈[－1，2].由函数y＝t与y＝2sin 的图象(图略)，得1≤t<2，所以实数t的取值范围是[1，2).- 9 -。
