概率统计课件：离散型随机变量及其概率分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,离散型随机变量及其概率分布,定义 若随机变量,X,的可能取值是有限多个或,无穷可列多个，则称,X,为,离散型随机变量,描述离散型随机变量的概率特性常用它的,概率,分布,或,分布律,，即,概率分布的性质,离散型随机变量的概念,非负性,规范性,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，,在间断点处有跃度,p,k,离散型随机变量的分布函数,例1,设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏,信号灯，每盏信号灯独立地以概率,p,允许,汽车通过令,X,表示首次停下时已通过的,信号灯的盏数，求,X,的概率分布与,p=,0.4,时的分布函数出发地,目的地,解,0,1,2,3,4,x,x,k,p,k,0 1 2 3 4,0.6,0.4,0.6,0.4,2,0.6,0.4,3,0.6,0.4,4,当,0,1,2,3,4,x,F,(,x,),o,o,1,o,o,o,概率分布或分布函数可用来计算有关事件的,概率,例2,在上例中，分别用概率分布与分布函数计,算下述事件的概率：,解,或,或,或,此式应理解为极限,对离散型随机变量用概率分布比用分布函数,计算这些概率更方便,或,或,例3,一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须,被击中,r,次才能被摧毁。

若每次击中目标的,概率为,p,(0,p,1),且各次轰击相互独立，,一次一次地轰击直到摧毁目标为止求所需,轰击次数,X,的概率分布解,P,(,X,=,k,)=,P,(,前,k,1,次击中,r,1,次，,第,k,次击中目标),注,利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质,当,归纳地,令,例,4,将,3,个有区别的球随机地逐个放入编号为,1,，,2,，,3,，,4,的四只盒中（每盒容纳球的个数不限）设,X,为有球的盒子的最大号码，试求：,（,1,）随机变量,X,的分布律与分布函数；,（,2),解（,1,）,随机变量,X,的可能取值为：,即随机变量,X,的分布律为,X,1,2,3,4,P,X,的分布函数为,(2),(1),0 1 分布,X=x,k,1 0,P,k,p,1,-p,0,p,1,注 其分布律可写成,2.,4,常见的离散型随机变量的分布,凡是随机试验只有两个可能的结果，,应用场合,常用0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,n,重,Bernoulli,试验概型：,即可看作每次试验有两个可能的结果：,设,Bernoulli,试验概型,每次试验的结果与其他次试验无关 称为,这,n,次试验是相互独立的,将随机试验重复,n,次,每次试验感兴趣的事件为,A,(2),二项分布,若,P,(,A,)=,p,则,称,X,服从,参数为,n,p,的二项分布,，记作,0 1 分布是,n,=1,的二项分布,n,重,Bernoulli,试验概型,感兴趣的问题,为：,在,n,次试验中事件,A,出现,k,次的概率，记为,例,5,独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求命中次数不少于2 次的概率.,令,X,表示命中次数，则,X,B(5000,0.001),解,本例启示,小概率事件虽不易发生，但重复次,数多了，就成大概率事件,.,问题,如何计算？,Possion,定理,则对固定的,k,设,Poisson,定理说明：若,X B,(,n,p,),则当,n,较大，,p,较小，而 适中，则可以用近似公式,解,令,X,表示命中次数，则,X,B(5000,0.001),令,此结果也可直接查,P.378,附表2,Poisson,分布表,得到，它与用,二项分布算得的结果,仅,相差千分之二点四,.,利用,Poisson,定理再求,例,5,例,6,某厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱，,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100,个合格品，则每箱至少应装多少个产品？,解,设每箱至少应装100+,n,个，每箱的不合格,品个数为,X,，,则,X,B(100+,n,0.03),应用,Poisson,定理,由题意,3,(100+,n,)0.03=3+0.03,n,取 =3,查,Poisson,分布表 =3一栏,得,n,+1=6,n,=5,所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求,.,在实际计算中，当,n,20,p,0.05,时，可用上,述公式近似计算；而当,n,100,np,10,时,精度,更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,按二项分布 按,Possion,公式,k,n=,10,p=,0.1,n=,20,p=,0.05,n=,40,p=,0.025,n=,100,p=,0.01,=,np=,1,解,(1)设 需要配备,N,个维修工人,设,X,为90 台,设备中发生故障的台数，则,X B,(90,0.01),设有同类型设备90台，每台工作相互独立，,每台设备发生故障的概率都是 0.01,.,在通常,情况下，一台设备发生故障可由一个人独立,维修，每人同时也只能维修一台设备,.,问至少要配备多少维修工人，才能保证当设,备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,(2),问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负,责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？,例,7,令,则,查附表2得,N=,4,三个人共同负责90台设备发生故障不能,及时维修的概率为,设30台设备中发生故障的台数为,Y,B,(30,0.01),设每个人独立负责30台设备，第,i,个人负责的,30台设备发生故障不能及时维修为事件,A,i,则,三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时,维修为事件,故,三个人共同负责90 台设备比各自负责好！,在,Poisson,定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布,Poisson,分布,(3),Poisson,分布,或,或,若,其中,是常数，则称,X,服从,参数为,的,Poisson,分布,，记作,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合,总机接到的次数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件，则称为,Poisson,流,在,长为,t,的时间内出现的质点数,X,t,P,(,t,),市级医院急诊病人数；,等等,例,8,设一只昆虫所生虫卵数为随机变量,X P,(,),每个虫卵发育成幼虫的概率为,p,.,设各个虫卵,是否能发育成幼虫是相互独立的.求一只昆虫,所生的虫卵发育成的幼虫数,Y,的概率分布.,解,昆虫,X,个虫卵,Y,个幼虫,已知,由全概率公式,故,例,9,从一家工厂生产的一大批某种产品中,不放回地抽取,50,次,每次取一件,.,经检查发现其中,3,件次品,.,问是否可相信该批产品的次品率不超过,12,.,解,:,抽取,50,件产品可近似看作,50,重贝努力试验,.,假定该批产品的次品率不超过,12,则,抽取,50,件产品的次品数,则,50,件产品中恰有,3,件次品的概率,若次品率小于,12,则,会更小,.,由实际推断原理,怀疑假设的正确性,从而认为,次品率不超过,12,不可信,.,“,小概率事件在一次试验中实际上不可能发生,”,实际推断原理,例,10,设一次试验中事件,A,发生的概率,把试验独立地重复做,n,次,求事件,A,至少发生一次的概率,.,解,:,记,X,为,n,次试验中事件,A,发生的次数,令,事件,A,至少发生一次,时,这说明,当,n,充分大时,事件,A,迟早要发生,.,从而得出一个重要结论,:,“,小概率事件在大量重复试验中是迟早要发生的,”,.,因此,在试验次数很大的情况下,小概率事件是不容忽视的,.,这个结论在实际中很有用,.,“,恶有恶报,善有善报,不是不报时侯没到,时侯一到一定要报,”,“,常走河边必湿鞋,”,“,多行不义必自毙,”,等等,警示,:,(4),超几何分布,设一批产品中有,M,件正品,N,件次品,从中任意取,n,件,则取到的次品数,X,是一个离散型随机变量,它的概率分布为,-,超几何分布,应用,:,产品的质量检查与控制等,。