导数：平均变化率与瞬时变化率.docx

同步教育信息同步教育信息】. 本周教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率w. 本周教学目标：1、 了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵2、 通过函数图象直观理解导数的几何意义．三. 本周知识要点：（一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图f （x ） - f （x ）2 1-2、一般地，函数f（X）在区间［X］, x2］上的平均变化率 x2 - xi平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”二）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数y二f（x）的图象，点P（x0，yo）是曲线c上一点•作割线PQ,当 点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限 位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线.k -割线PQ的斜率为PQ-f (x0+心)-f (x)Axf (x +Ax) - f (x )0 0—即当A T °时， Ax 无限趋近于点P的斜率.2、瞬时速度与瞬时加速度1) 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2) 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位 移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物 体经过 A 点的瞬时速度.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的 运动规律用函数表示为s=s (t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0, t0+A t,现在问从t0到t0+A t这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为△ s=s(t0+4 t)—s (t0)(4 t称时间增量)As s (t + At) - s (t )v — — 0 0—平均速度 At At根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间 足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+4 t,这段时间是△ t.时间△ t足够短，就是△ t无限趋近于0.当△ t s(t +At) - s(t )0 0-0时，位移的平均变化率 At 无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t= t0的瞬时速度•v(t + At) - v(t )0 0同样，计算运动物体速度的平均变化率 At ，当卜t-0时，平均速度v(t +At) - v(t )0 0At 无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t= t0时的瞬时加速度.3、导数设函数y — f (x)在(a,b)上有定义，x0 G (a,b).若Ax无限趋近于0时，比值Ay f (x0 + Ax) - f (x 0)— 0 0—Ax Ax 无限趋近于一个常数A,则称f (x)在x= x0处可导，并称该常 数A为函数y二f(x)在X二Xo处的导数，记作广(Xo)几何意义是曲线y二f(x)上点(f (Xo))处的切线的斜率.导函数(导数)：如果函数y二f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每 一个x G (a,b)，都对应着一个确定的导数广(x)，从而构成了一个新的函数广(X)，称这个 函数f'(x)为函数y二f (x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y'.【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V⑴二5X 2-0-1f (单位： cm3) ，计算第一个 1os 内 V 的平均变化率．解：在区间［0, 10］上，体积V的平均变化率为么丄二10- 0 10 cm3即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为-0・25 cm3.例2、已知函数f (x)二2x +1，g(x) = -2x，分别计算在区间［-3，-1］，［0, 5］上函数 f(x) 及 g(x) 的平均变化率.解：函数 f(x) 在［-3，-1］上的平均变化率为f (-1) - f (-3) = 2(-1) - (-3)g(x) 在［-3,-1］上的平均变化率为g (_1) - g (-3) = _2(-1) -(-3)-函数 f (x) 在［0，5］上的平均变化率为f ⑸一f (0)二 25^0-g(x) 在［0，5］上的平均变化率为g ⑸-g (0) 一25^0-例 3、已知函数f (x)二 x2,分别计算函数f (x)在区间[1, 3], [1, 2], [1, 1.1], [1, 1.001] 上的平均变化率．解：函数f (x)在区间[1, 3]上的平均变化率为f (3) - f (1)二 43 — 1 -函数f (x)在[1, 2]上的平均变化率为f (2) — f (1)二 3 2—1函数f (x)在［1, 1.1］上的平均变化率为f (1.1) — f (1)二 21 1.1 — 1 -.函数f (x)在［1, 1.001］上的平均变化率为f (1.°01)一 f ⑴二 2.0011.001_11例4、物体自由落体的运动方程s=s (t)= 2 gt2,其中位移单位m,时间单位s, g = 9.8 m/s2.求t=3这一时段的速度.1 1 g解：取一小段时间[3, 3+4 t],位置改变量△ s= 2 g (3+4 t) 2— 2 g • 32= 2 (6+-As 1v 二 =—4 t) 4 t,平均速度 At 2 g (6+4 t) +当4 t无限趋于0时，v无限趋于3g = 29.4 m/s.例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s).As(1) 当 t=2,氐 t=0.01 时，求 A .As(2) 当 t=2,氐 t=0.001 时，求 At .(3) 求质点M在t=2时的瞬时速度.As分析：卜s即位移的改变量，氐t即时间的改变量，At即平均速度，当△ t越小，求出As的At越接近某时刻的速度.As s(t + At) — s(t) 2(t + At )2 + 3 — (2t 2 + 3)解：J At At At =4t+24 tAs.•・(1)当 t=2,氐 t=0.01 时，At =4X2+2X0.01 = 8.02 cm/s.As(2) 当 t=2,卜 t=0.001 时，At =4X2+2X0.001 = 8.002 cm/s.(3) 卜 tt 0, (4t+24 t)=4t=4X2 = 8 cm/s -例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P (1, 2)处的切线的斜率，以及切线 的方程.解：设Q (1+Ax , 2+ Ax )，则割线PQ的斜率为:f (1+Ax) — f (1) = (1+Ax)2 + 1-(12 + 1)Ax Ax(Ax )2 + 2 AxAx=Ax + 2Ax t 0,「.斜率为2.切线的斜率为 2.切线的方程为y—2=2 (x— 1)，即y = 2x.模拟试题】Ay1、若函数f (x)=2x2+1,图象上 P (1,3)及邻近点 Q (1+A x,3+A y),则 A =()A. 4B. 4A xC. 4+2A xD. 2A xAs2、 一直线运动的物体，从时间堆叮+ At时，物体的位移为A，那么A — 0时，~At为 （）A.从时间t到丫 + At时，物体的平均速度；B.在t时刻时该物体的瞬时速度；C.当时间为At时物体的速度； D.从时间t到‘ + At时物体的平均速度3、 已知曲线y=2x2上一点A （1, 2）,求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线 方程.4、 求曲线y=x2+1在点P （―2，5）处的切线方程.5、 求y = 2x2+4x在点x=3处的导数.6、 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s （t）=t2 （位移单位：m,时间单位：s）, 求小球在t=5时的瞬时速度.7、 质点M按规律s = 2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）,求质点M在t =2时的瞬时速度.你热爰生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生鶯命的材料--富兰克林试题答案】1、B2、Bf (1+Ax)-f (1)_ 2(1+Ax)2 -2・123、解：(1) Ax T0 时，k= 心 山4 Ax + 2(Ax)2Ax=(4 + 2 Ax) = 4・••点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y—2=4 (x— 1)即y=4x—2f (-2 + Ax) — f (-2) _ (-2 + Ax)2 +1-(-2)2 -14、解：Ax T 0时，k= Ax Ax-4 Ax + (Ax )2Ax(-4+Ax)-4・切线方程是y—5=—4 (x+2)，即y=—4x—3.Ay5、解：卜 y=2 (3+4 x) 2+4 (3+4 x) — (2X32+4X3)=2 (A x) 2+164 x, Ax =24x+16Ax T 0 时，y‘ | ==16x=3s(5 + At) - s(5) _ (5 + At)2 - 52 _6、 解：At T 0 时，瞬时速度 v= At At (10+4 t) =10 m/s.•••瞬时速度 v=2t=2X5 = 10 m/s.s(2 + At) — s(2) _ 2(2 + At)2 + 3 - (2 • 22 + 3)7、 解：At T 0 时，瞬时速度 v= At 一 At =(8+24 t)= 8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：“谢谢你 的来信，我现在心中很平静，因为：第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第 二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：做贼的是他，而不是我．”。