势阱中粒子势垒谐振子.ppt

12-5 势阱中的粒子 势垒 谐振子 一、一维无限深势阱 若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱 为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱 一维无限深势阱： a   保守力与势能之间的关系： 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 势阱内的一维定态薛定谔方程为： 解为： 由边界条件得： 据归一化条件，得 得波函数表达式： (1)粒子能量不能取连续值 得 能量取分立值（能级），能量量子化 是粒子处于束缚态的所具有的性质 由 讨 论： （2）粒子的最小能量不等于零 最小能量 也称为基态能或零点能 零点能的存在与不确定度关系协调一致 (3)粒子在势阱内出现概率密度分布 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等 量子论观点： 0 a =1 =2 =3 =4n n n n 0a 当 很大 时， 量子 概率分布 就接近经 典分布 经典观点： （4）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是 无限深，粒子的能 量又低于势璧，粒 子在阱外不远处出 现的概率不为零。

0a 经典理论无 法解释，实验得 到证实 得到两相邻能级的能量差 例题 1 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为 1.010-2m和10-10m 试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差 解： 根据势阱中的能量公式 当a=1cm时 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而 且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我 们可以把电子的能级看作是连续的 当a=10-10m时 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来 可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减 小当 时 ， 较之 要小的多这时，能 量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的， 经典图样和量子图样趋与一致所以，经典物理可以 看作是量子物理中量子数 时的极限情况 当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为 例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 将上式对x求导一次，并令它等于零 因为在阱内，即 只有 于是 由此解得最大值得位置为 例如 最大值位置 最大值位置 最大值位置 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。

这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致 相邻两个最大值之间的距离 如果阱宽a不变，当 时 二、一维势垒 隧道效应 一维方势阱如图 ⅠⅡⅢ 粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒 当 ，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释 设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为 令 为实数 解为： 三个区域中波函数的 情况如图所示： 隧道效应 在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下,粒子有 一定的概率穿透势垒. 此 现象称为隧道效应 贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与 入射波的强度之比： 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关 三、谐振子 谐振子的势能为 薛定谔方程为 其能量本征值为 基态能(零点能) 能级间隔 一维谐振子的能级 。