数值分析课程设计--高斯求积公式.docx

一、引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分I = [sinxdx 要求：数值实验结杲要体现出随高斯点的增加谋差的变化我们知道，求积公式(1. 1)含有加+ 2个待定常数兀及人(心0,1,2,••・/),如果它具有〃次代数精确度,则它应使加+ 1个方程 xkdxy k = 0,l,2,---,m(1.2)精确成立作为插值型求积公式(1・1)它至少具有"次代数精确度；另一方面，令 %、(x) =(X_兀0)(兀_為)…(兀一£),贝IJ对2h + 2次多项式/(兀)二 此I(兀)而言， (7. 5. 1)右端为零,而左端严格大于零，即(7. 5. 1)式对2/1 + 2次多项式血(兀)不 准确成立但要确定方程组(7. 5. 2)中的2〃 + 2个待定常数兀与最多需要给岀 2” + 2个独立条件，所以m最大取2/7 +1因此，插值型求积公式(1. 1)的代数精确度最小是〃，最大是2/1 + 1.由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿■科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数为解决上述问题，首先要先给岀三个定理:定理一:以九叭,…，兀为节点的插值型求积公式(7. 5.1)具有加+1次代数精确度的 充要条件是以这些节点为零点的多项式69n+1(X)= (X-X0)U-X1)---(X-JCj与任意次数不超过“的多项式HQ均在区间[⑦切上正交，即(1.3)定理二:高斯公式（1.1）的求积系数A-全为正，且定理三：对于高斯公式（1.1）,其余项为其I 〃 W [d,/?], 0卄]O）=（兀一兀0 ）（x— 石）• • •（兀一兀 J.证明以兀。

"…，^为节点构造fM的埃尔米特插值多项式H （龙）H（x） = fg, Hg = fg, i = 0,1,因为HM是加+1次多项式,而它的余项是fM - H（X）= —-1 — /（2/，+2） ©必（X）（2n + 2）!所以高斯公式（7. 5.1）对H（%）能准确成立，即f H (x)dx = ^AiH (x.) =/=0 /=0从而R(/)= f/Wd尢一乞4/(石)=f(x)dx - H(x)dx/==0=f 1 严Z© ；(忙 丄(2〃 + 2)! “ 0+1若广％）在区间[讪上连续，由于虻+©）在[讪上不变号，故应用积分中值 定理可得R 中=险;+心皿，耳 G [“]上述定理说明，与牛顿一科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度，而且它还 是数值稳定的，但是节点和求积系数的计算比较麻烦注:由于篇幅有限以及定理三的重要性，故略去定理一、二的证明二、方法描述:2.1＞高斯一勒让德(Gauss-Legendre)公式对于任意求积区间a®,通过变换兀=凹+匕2 2可化为区间［一口〕，这吋］＞如宁打(字+¥呦因此，不失•一般性，可取a=T，b = l，考查区间［-口］上的高斯公式/=0(2. 1)我们知道,勒让德(Legendre)多项式&】+1(兀)=1 d,,+l2% + l)!df[u2-ir+,](2. 2)是区间I」山上的正交多项式，因此 厶+心)的” + 1个零点就是高斯公式(2. 1)的川+ 1个节点。

特别地，称—|⑴的零点为高斯点，形如(2. 1)的高斯公式称为高斯-勒让徳公式利用勒让德多项式的一个性质(1 一兀2 )厶：+1(X)= (n + V)[Ln (x) - xLn+x(X)]可得，高斯-勒让德求积系数A为2(1-彳)[(n + DLJx,.)]2(2. 3)按(1・5)式，可推得其余项为/?(/)=22z,+3[(n + l)]4(2/? + 3)l(2n + 2)!J3(2”+2)(7)(2.4)若取厶(兀)f的零点xo=O为节点，则2(1-0)[厶(0)F=2从而一点高斯-勒让德公式（中矩形公式）为(2. 5)[/(兀如 2/(0)其余项为L,（x） = -（3x2-1） ±-U八、、若取「 2 的两个零点丁3为节点，则2[l-(—U)2]4=—=>[2厶(一1 72n-(—)2i4| = — = 1[2厶(于从而二点高斯-勒让德公式为（心“弓）+弓）(2. 6)其余项为n5 o4 15 • 243/（4）（7）= —/（4）（7）同理，三点高斯-勒让徳公式为(2. 7)[f\x)dx 冷/(—平)+ 影(0) + *、(¥)其余项为一般地，高斯-勒让德公式（2. 1）的节点可以通过勒让德多项式的零点确定， 而求积系数通过（2. 3）式确定。

表2-1给出了高斯一勒让德公式在节点数为12345,6时的节点、求积系数 及余项表2-1节点数节点码系数4余项2)102”5)2±0.577350313±0.7714596700. 55555560.8888889/ ⑷(“)157504±0.8611363±0.33998100.34785480.6521452/⑻(〃)34728755±0.9061799±0.538469300.23692690.47862870.5688889/(，0)(7)12377326506±0.9324695±6612094±23861920.17132450.36076160.46791392'耐严13(12!)例2.1用二点高斯-勒让徳公式计算积分x — 一(r +1),解作变量代换 4 则^fsin4丄1记心sin龙(/ +1)4因为节点A=±0.5773503 得/仏)=0.32589, /(/,) = 0.94541所以，由二点高斯公式71=-(0.32589 + 0.94541) = 0.94541计算结果比用复合梯形公式7个节点计算的结果还要好2.2、高斯-切比雪夫(Gauss・Chd)yshev)求积公式Q(x) 区间为［・1, 1］,权函数1Vl-x2的Gauss型求积公式，其节点％是Chebyshev2k + l 席T 忑=cos［ 宀严］(疋=0,1,•••,«) A. = — (k = 0,1,•••,«)多项式丄杆1⑴的零点，即 2(” + 1) ，而* « + f \于是得到工/[cosJt-02上+ 12(方 +1)兀］(2.8)称为Gauss-Chebyshev求积公式，公式的余项为(2.9)出(刀=22网：；+ 2)!严叫切"e ™这种求积公式可用于计算奇异积分.pl & I = J j dx例2.2用三点和四点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分 "J1 - ,并估计误差.解 这里/(x)=『,(x) = 由 Gauss-Chebyshev 求积公式(5.4.9)可得当n=2时,ThJt=O忑=cos(年^)(上= 0,1,2),求得冗羽 3 5 43xo =COS— = ^~2~rXl =COSf 龙=0,%2 = COS —代入上式得TC —r- 门 ~T- /TI 和三@2 +/+w 2 ) =-(2.37744 + 1 + 0.42062)处 3.97732估计误差可用余项表达式(2.8),因能)=/严)仗)=叭 故肉(刀卜 九严)(力S売沁3.7065x04当n=3时,x.=cos(^^ = 0,l,2,3) Q求得X。

0.9238795,^ =0.3826834,乃=7.3826834,七=-0.9238795"才工必=-(2.5190441 +1.4662138 + 0.6820288 + 0.3969760) = 3.97746262误差 肉外為严恥走yx"小结：Gauss型求积公式是［%］上带权的求积公式，它具有最高代数精确度2n+l,实际上 由于求积系数&•及节点忑伙=°」，・・M）都是待定系数，它共有2n+2个，可使（5.4.1）对 任何加+1次多项式精确成立具有加+1次代数精确度的求积公式节点忑仗=°」，・・・0）就 是Gauss点，实际上它就是在【么切上带权正交多项式的零点得到求积节点心以厉，同样 可利用（5.4.1）对广⑴二产（加=0,1,・・・,勿精确成立，得到关于4（^ = 0,1,-,«）的线性=p{x)xdxJa解此方程组得到的求积公式系数4 它是稳定的，也是收敛的，具有较高的精度通常使用的具体公式是Gauss-Legendre求积公式（简称Gauss求积公式），它是区间为［一 口 ］,权函数恥□的公式，当十可彳严诂心），比“三点5岬公式好，当心2时可得R^］= 15750 如）比】匸4（五点）的Cotes公式好，而计算量却减少。

另一个Gauss型求积公式时Gauss-Chebyshev求积公式，它除了精度高，还可计算反常 积分,如例2.2三、数值实验为了观察高斯积分公式随着高斯点的增加积分值变化的规律，本试验利用MATLAB数学软 件，选取了 27组数据，逐个算出I=]sinxdx的积分值，且依次算出了务个不同节点处的 谋差数据表格如下：冋斯\值点注：I = ( sin xdx 的准确值 W=0.459697694131860282599积分值保留15位有效数字误差保留10位有效数字20.4595878123952650.2390303484e-330.2141028091907980.534253027740.4596909902766480.1458306206e-450.3032914841911920.30329148419119260.4596963757619410.2867754215e-570.3453993991383800.248637955980.4596972776358120.9060302136e-690.3697247400386120.1957220044100.4596975236570240.3706783875e-6150.4048413708961220.1193312995200.4596976834873310.2305863209e-7250.4264800098830590.7225984517e-l300.4596976920296080.4568219565e-8350.4358794523609880.5181283701 e-1400.4596976934667360.1305205590e-8450.4411332800058370.4038396176e-l500.4596976938594330.4350685300e-9550.4444883681391630.3308549552e-l600.4596976940004830.2175342650e-9650.446816437093450。