第 5章大数定律与中心极限定理、 填空题：1•设随机变量E(®沖，方差D© =8,则由切比雪夫不等式有P{| g-卩|> 3另亠92. 设g , g，…,g 是 n个相互独立同分布的随机变量，1 2 nE(g )=卩,D(g ) = 8,(i = 1,2,…,n )对于2 =另£_，写出所满足的切彼雪夫不等式 i i ni =1P {| g —卩 1>8} < 姮=虫 ，并估计 P {| g-A |< 4} >_ 1-当 _•s 2 n s 2 2n3. 设随机变量X , X，…,X相互独立且同分布，而且有EX = 1 ,1 2 9 iDX = 1(i = 1,2,…,9),令X =》X ,则对任意给定的s> 0,由切比雪夫不等式 iii=1直接可得P & 一9 Vsk 1 -丄 •S 2解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X) = a与D(X) =b 2都存在，则 对任意给定的s > 0,有Q 2 Q 2P{l X 一卩 l>s} < ,或者 P{l X 一卩 l 1 -.s2 s 2由于随机变量 X , X ,…, X 相互独立且同分布, 而且有1 2 9EX = 1, DX = 1(i = 1,2,…①)，所以iiV \ V VA=E(X)= E乙 X =Ze(X )=乙1 = 9,ii =1 i =1(V \ V VG2 = D( X) = D乙 X =Zd(X )=乙1 = 9.ii =1 i=14.设随机变量X满足：E(X) = A, D(X) = G2,则由切比雪夫不等式，1有 P{l X-a l> 46— < — 16解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足E(X) = A, D(X) =G2,则对任意Q 2的 s > 0,有 P{l X-A l>s} < .由此得s2P{l X-A l> 4g } 6、设g / g，…/ g为相互独立的随机变量序列，且g (i = 1,2，…)服从参数为九的泊松1 2 n i分布，则 lim P {—n sg. — n 九V n九< x } =_ 丄 p e v; 2nz22 dt—g7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的 nb—np 1 t2概率，则 P {a 0, lim P《X -a |< s^= 1 ,或Vs > 0, lim P《Xn 一>+g 门 n ->+g n1 2 n n-a |> 0 010. 设供电站电网有100盏电灯， 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相互独立的，若随机变量X为100盏灯中开着的灯数，则由切比雪夫不等式估计，X落在75至85之间的概率不小于 _9_25解：E(X) = 80, D(X) = 16，于是9251 GP(75 < X < 85) = P(l X — 801< 5) > 1 — =二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立 试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则E(X) = 500, D(X) = 250P{450 < X < 550} = P{l X — 500 1< 50}=p{l X -E(X)|< 50} >1 -第=1 —嘉=0-92、一通信系统拥有50 台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接 受信号的概率为 0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45 台. 求 该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数 则X ~ B (50,0.90).由此P(通信系统能正常工作)二P(45 - X < 50)(45 - 50 X 0.9 X — 50 x 0.9 50 - 50 x 0.9 )50 x 0.9 x 0.1 J50 x 0.9 x 0.1 Q50 x 0.9 x 0.1 丿沁①(2.36)—①(0) = 0.990 9 — 0.5 = 0.490 9.3、某微机系统有120 个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10 个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数7〜b (120,0>05), np = 6, npq = 5- 7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知P{7> 10} = 1 -of ］沁 1 -①(1.67) = 0.047 5.4、某校共有4900 个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以 99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为© ,要准备k个座位. _7 〜b(n, p), n = 4900, p = 0.1, np = 4900x 0.1 = 490, p npq=J4900x 0.1 x 0.9 441 = 21.P{0 <7< k} kSnp |-O21丿—①(-23.23) q ①21丿= 0.99.J Jnpq 丿k - 490-4— = 2.326 3, k = 21 x 2.326 3 + 490 = 538.852 3 查皿0'1)分布表可得21q 539.要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.解：5．随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9 且 不超过 33 点的概率。
设 n 表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和gi 表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，„，6g1, g2,…，g6 相互独立，显然耳=丈g.1 2 6 i i=1Egi=16 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)= 76 2)49 35Dg 2 + 22 + •…+ 62 丿一 =—i 6 4 12p*9 13}n 1 -血=1 - 25 〜0.9169 3386-设随机变量即g2'…，匚相互独立，且均服从指数分布f (x)=严—Xxx > °6> 0)10 x < 0为使p {|n工勺kk =1问： n 的最小值应如何 ？11解：E. = 〒，D/石—工(Dg )=亠n2 k nX2k=1由切比夫不等式丄工g-1 n k 九 k=11、10九丿1 丫—』1 n kk=1‘1艺g、n kk=11＜胖1壬 ＞ 兰，1 、10九丿2一 100’95100 ,从而 n > 2000 ,故n的最小值是20007．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10 个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为 10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?解：•••设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则X〜b(n,0.1),P{X > 10} > 0.9，而 P{ X - n x 0.1 > 10 — n x 0.1=} > 0.9 n x 0.1 x 0.9 n x 0.1 x 0.9所以 p{ X -n x0.1 < 10二哎} < 0.1n x 0.1 x 0.9 v 0.09n由中心极限定理知，当n充分大时,有p{亠虬< mn} “(叱0型)=0.1, n x 0.1 x 0.9 0.09n 0.3 n由①(叱空)=0.10.3百'n查表得10 - 0.1n0.3、n= -1.28n = 1478．(1)一个复杂系统由100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85 个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有 n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?解:⑴设X表示正常工作的元件数，则X〜b(100,0.9)，P{X>85}=P{100>X>85}=P{85-90X -100 x 0.9<100 x 0.1 x 0.9100-90=P{-5 85}=①(¥)-①(-5)=①(¥)- (1 -①(5)) =①(!°) + ①(5) -1 =①(5) = 0.953 3 3⑵设X表示正常工作的元件数，则X〜b(n,0.9)P(X - 0.8n) = P(0.8n < X - n) = P{0^ <石x 0.9 x 0.1 < 0^=皆斗 < 册 < 討}=p{Jn < X - 0.9n)3 0.3 *n=i(-弓)一) = °95n = 259．一部件包括 10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期 望为2 mm，均方差为0.05 mm,规定总长度为20 土 0.1 mm时产品合格，试求产品合 格的概率。
已知：①(0.6 ) = 0.7257；①(0.63 ) = 0.7357解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, „, 10 )E ( X. ) = 2 =卩，D( X. ) = b2 = ( 0.05 ) 2，依题意，得合格品的概率为iiP一 0・1 V 另 X -20 < 0・1=P一0・63 < 1 (另 X -10 x 2) < 0・63,ii =13.18 x 0.05 ii =1f 1 _ t2 f 1 _12= Jo.63 e - 2 dt = 2]0,63 e - 2 dt-0.63 2兀 o .<2^f i _ tL二 2 xj0,63 e - 2 dt -1 二 2 x 0.7357 -1 二 0.4714 _g ：j2ji10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是 相 互独立的随机变量，并且都在区间［_0.5， 0.5 ］上服从均匀分布，求1200个数相 加时误差总和的绝对值小于10的概率已知：①(1)=0.8413；①(2)=0.97721故有解：设＜ ，＜ ,，£ 表示取整误差，因它们在［0.5 ,0.5］上服从均匀分布，1 2 … nE £=0 , D 討丄,i=12,--,ni i 12根据同分布的中心要极限定理，得ii=1_10_0亍<。
