【培优提高】反比例函数典型例题解析.docx

人教版九年级数学下册 第26章 反比例函数 培优提高典型例题解析一、解答题1.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=kx（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．【答案】解：（1）∵一次函数图象过A点，∴m=1+2，解得m=3，∴A点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过A点，∴k=1×3=3，∴反比例函数y=kx（k≠0）的表达式为y=3x．（2）∵y=3xy=x+2，解得x=1y=3或x=-3y=-1∴B（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为C（0，2），∵△ABP的面积为6，∴12PC•|xB|+12PC•|xA|=6，∴12PC（1+3）=6，∴PC=3，∴P（0，5）或（0，﹣1）． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=kx（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若BEBF=1m（m为大于1的常数）．记△CEF的面积为S1 ， △OEF的面积为S2 ， 求S1S2的值． （用含m的代数式表示）【答案】解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，∵BEBF=1m，∴MEDF=1m，∵ME•EW=FN•DF，∴MEDF=FNEW∴FNEW=1m，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），∴△CEF的面积为：S1=12（mx﹣x）（my﹣y）=12（m﹣1）2xy，∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON ， =MC•CN﹣12（m﹣1）2xy﹣12ME•MO﹣12FN•NO，=mx•my﹣12（m﹣1）2xy﹣12x•my﹣12y•mx，=m2xy﹣12（m﹣1）2xy﹣mxy，=12（m2﹣1）xy，=12（m+1）（m﹣1）xy，∴S1S2=12m-12xy12m-1m+1xy=m-1m+1．故答案为：m-1m+1．3.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【答案】解：（1）从图象可知：A（2，1）B（﹣1，n），把A的坐标代入反比例函数y=mx得：m=2，即反比例函数的解析式是：y=2x，把B（﹣1，n）的坐标代入反比例函数y=2x得：n=﹣2，∴B（﹣1，﹣2），把A、B的坐标代入y=kx+b得：1=2k+b-2=-k+b，解得k=1，b=﹣1，即一次函数的解析式是：y=x﹣1；（2）根据图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2． 4.如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=k2x的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得b=-2k1+b=0，解得k1=2b=-2，所以一次函数解析式为y=2x﹣2；把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，解得m=3，则M点坐标为（3，4），把M（3，4）代入y=k2x得k2=3×4=12，所以反比例函数解析式为y=12x；（2）存在．∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），∴AB=5，BM=22+42=25，∵PM⊥AM，∴∠BMP=90°，∵∠OBA=∠MBP，∴Rt△OBA∽Rt△MBP，∴ABPB=OBBM，即5PB=125，∴PB=10，∴OP=11，∴P点坐标为（11，0）．5.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于点A﹙−2，−5﹚、C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．（1）求反比例函数 y=mx 和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）连接OA、OC．求△AOC的面积． 【答案】（1）解：将A（-2，-5）代入y=mx，得m=-2×（-5）=10.则反比例函数为y=10x.将C（5，n）代入y=10x得n=2,则C（5,2）.将A（-2，-5），C（5,2）代入y=kx+b中得-2k+b=-55k+b=2解得k=1b=-3即直线y=x-3.（2）解：直线y=x-3与x轴，y轴的交点分别为D（3,0），B（0，-3），则OD=3，OB=3，又因为A（-2，-5），C（5,2）则S△AOC=S△AOB+S△BOD+S△DOC=12×5×3+12×3×3+12×3×2=15. 6.有这样一个问题：探究函数y=1x-1+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=1x-1+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x-1+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）【答案】解：（1）x≠1，（2）令x=4，∴y=14-1+4=133；∴m=133；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值． 7.如图，Rt△ABC中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上运动，那么点B在哪个图像上运动？【答案】解：分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．∵点A在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，∴ab=1．在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°-∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴OC：BD=AC：OD=OA：OB，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，∴OA：OB=1：3，∴b：BD=a：OD=1：3，∴BD=3b，OD=3a，∴BD•OD=3ab=3，又∵点B在第四象限，∴点B在函数y=-3x的图象上运动． 8.如图，点A为函数 y=18x(x>0) 图象上一点，连结OA，交函数 y=2x(x>0) 的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积． 【答案】解：设点A的坐标为（a， ），点B的坐标为（b， ）， ∵点C是x轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a， ）的直线的解析式为：y=kx，∴ =ak，解得，k= ，又∵点B（b， ）在y= x上，∴ = •b，解得， =3或 =﹣3（舍去），∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC= ﹣ =18﹣6=12． 9.（2015•赤峰）如图，直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．【答案】解：∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，①如图1，当∠OBC=∠COP时，△OCP∽△BOC，∴OBOC=OCCP，即42=2CP，解得CP=1，∴P（2，﹣1），设过点P的双曲线解析式y=kx，把P点代入解得k=﹣2，∴过点P的双曲线解析式y=﹣2x，②如图2，当∠OBC=∠CPO时，△OCP∽△COB，在△OCP和△COB中，∠OBC=∠CPO∠COB=∠OCPCO=OC∴△OCP≌△COB（AAS）∴CP=BO=4，∴P（2，﹣4）设过点P的双曲线解析式y=kx，把P点代入得﹣4=k2，解得k=﹣8，∴过点P的双曲线解析式y=-8x．综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=﹣2x​或y=-8x． 10.如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数 y=kx 在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若S△BOD=4，请回答下列问题：（1）求反比例函数解析式； （2）求C点坐标． 【答案】（1）解：∵∠ABO=90°，S△BOD=4，∴ 12 ×k=4，解得k=8，∴反比例函数解析式为y= 8x ；（2）解：∵∠ABO=90°，OB=4，AB=8，∴A点坐标为（4，8），设直线OA的解析式为y=kx，把A（4，8）代入得4k=8，解得k=2，∴直线OA的解析式为y=2x，解方程组 {y=8xy=2x ，得 {x=2y=4 或 {x=-2y=-4 ，∵C在第一象限，∴C点坐标为（2，4）． 11.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．（1）求点A，C的坐标； （2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= kx （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值； （3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，∴x1=1，x2=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1．∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）．将点E（﹣1，2）代入y= kx  （k≠0）中，得：2= k-1 ，解得：k=﹣2．（3）解：假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴BE= 12 AB= 1222+42=5 ．∵四边形BEMN为菱形，∴EM= (m+1)2+(-m+1-2)2 =BE= 5 ，解得：m1= -2-52 ，m2= -2+52∴M（ -2-52 ，2+ 52 ）或（ -2+52 ，2﹣ 52 ），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（﹣ 52 ，4+ 52 ）或（ 52 ，4﹣ 52 ）；②以线段BE为对角线时，MB=ME，∴ (m+1)2+(-m+1-2)2=m2+(-m+1-4)2 ，解得：m3=﹣ 72 ，∴M（﹣ 72 ， 92  ），∵B（0。