《线性代数》学习指导第二章矩阵.doc

1第二章第二章 矩阵矩阵矩阵是线性代数的重要内容之一，它贯穿线性代数的各个部分同时它也是自然科学、工程技术和经济管理中应用十分广泛的数学工具.本章主要介绍矩阵的概念、运算、初等变换和矩阵的秩.§2.1§2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵的概念一、矩阵的概念定义定义 2.1 由数域 P 中的 mn 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表：（2.1）mnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211称为数域 P 上的矩阵其中 aij （ i = 1 ，2 ，… ，m ；j = 1 ，2 ，… ，n ）称为矩阵的m n第 i 行第 j 列的元素, i 称为元素的行标, j 称为元素的列标.实数域上的矩阵称为实矩阵，复数域上的矩阵称为复矩阵．本书只讨论实矩阵．矩阵（2.1）可简写为、,亦可用大写字母 A 、B 、C 或 Am × n 、Bm × n 、C m × n等表示.)(ijanmija)(m=n 时矩阵（2.1）称为n n阶矩阵阶矩阵或方阵方阵方阵A = （2.2）nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211中由左上角至右下角的直线称为主对角线主对角线，aii （i = 1 ，2 ，… ，n）称为主对角元主对角元。

由右上角至左下角的直线称为副对角线副对角线.方阵中主对角线以外的元素全为零的矩阵1122000000nnaaAa   LLLLLLL称为对角阵对角阵，对角阵亦可记为.今后在表示对角阵时，主对角元以外的零元可1122(,,,)nndiag aaaL以不写，即简单地用21122nna aa    O来表示对角阵.主对角元相等的对角阵a aa    O称为数量矩阵数量矩阵.主对角元全为 1 的对角阵1 11    O称为 n 阶单位矩阵阶单位矩阵记作 E（ 或 En ）n=1 时，矩阵（2.1）称为列矩阵列矩阵.此时 A = 11211ma aa    Mm=1 时，矩阵（2.1）称为行矩阵行矩阵. .此时 11121nAaaaLm=n=1 时，1 阶矩阵为一个数.1111Aaa元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，记作 Om × n 或 O ，有时列矩阵中的零矩阵也常用 0 来记.实际应用中有很多问题都可用矩阵来表示.例例 1 （运输问题）将某种产品从 m 个产地运到 n 个销地，设 aij为由产地 Ai（i = 1 ，2 ，… ，m）到销地 Bj（j = 1 ，2 ，… ，n）的运量，则调运方案如下表：3调运量 销地产地 B1 B2 … BnA1A2…Ama11 a12 … a1na21 a22 … a2n… … … …am1 am2 … amn上述调运方案可用矩阵简略地表示为：mnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211例例 2 2 线性方程组（2.3）  mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLLLLLLLLLL22112222212111212111的未知数的系数构成的矩阵A = mnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211是 m × n 矩阵，称为线性方程组（2.3）的系数矩阵.将（2.3）的常数项添加到系数矩阵 A 中构成的矩阵 mmnmmnnbaaabaaabaaaLLLLLLLL21222221111211是矩阵，称为线性方程组（2.3）的增广矩阵，记作 ．(1)mnA线性方程组（2.3）的第 i 个方程的未知数的系数及常数项构成行矩阵：iiniibaaaL21线性方程组（2.3）的常数项构成列矩阵：4B = mbbbM21方程组（2.3）的 n 个未知数构成列矩阵：X = nxxxM21二、矩阵的运算二、矩阵的运算两个具有相同行数和相同列数的矩阵称为同型矩阵.定义定义 2.22.2 设两个同型矩阵 A = ，B = ，若它们的对应元素相等，即 nmija)(nmijb)(=（ i = 1 ，2 ，… ，m ；j = 1 ，2 ，… ，n ）ijaijb则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B ．1 1．矩阵的加法．矩阵的加法定义定义 2.3 设两个同型矩阵 A = ，B = ．称矩阵 为矩阵nmija)(nmijb)(nmijijba)(A 与 B的和，记作 A ＋ B ．即A ＋ B = (2.4)mnmnmmmmnnnnbababababababababaLLLLLLL221122222221211112121111定义定义 2.4 设 A = ，称矩阵 为 A 的负矩阵，记作 ．即nmija)(nmija)(A= (2.5)AmnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211利用负矩阵可定义矩阵的减法：A － B =A ＋（－ B） ．矩阵的加法满足运算律：（1） A ＋ B = B ＋ A （交换律） （2） （A ＋ B）＋ C =A ＋（B ＋ C） （结合律） （3） A ＋ O = A5（4） A ＋（－ A）= O2．数与矩阵的乘法定义定义 2.5 设 A = ，k 为数。

称矩阵 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积，简称数乘，nmija)(nmijka)(记作 k A（或 A k） ．即k A = （2.6）mnmmnnkakakakakakakakakaLLLLLLL212222111211由数乘运算定义，数量矩阵可记为aaaEa    O矩阵的数乘运算满足运算律：(1) 1 A =A(2) k（l A）=（k l）A= l（k A） (3) （k ＋ l）A = k A ＋ l A(4) k（A ＋ B）= k A ＋ k B其中 k 、l 为数矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算线性运算.例例 3 3 设32121101231223ABAB ，求解解 3212112323 01231264263312750249369110AB 3 3．矩阵的乘法．矩阵的乘法定义定义 2.6 设 A = ，B = ，矩阵 C = 称为矩阵 A 与 B 的乘积，即 ()ikmsa()kjsnb()ijmnc6C==A B()ijmnc其中= （ i = 1 ，2 ，… ，m ；j = 1 ，2 ，… ，n ） （2.7）ijc1sikkj ka b注注 1° 只有当矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相等时 A B 才有意义；2° A m×s与 Bs×n 的乘积是一个 m × n 矩阵 C = ，其位于第 i 行第 j 列的元素等()ijmncijc于前一因子 A 的第 i 行元素与后一因子 B 的第 j 列的对应元素乘积之和.例例 4 4 设A = ，B = 110211 1101 0123 3111 求 A B ．解解 因 A 为 2× 3 矩阵，B 为 3 × 4 矩阵，故 A B 有意义，且 A B 为 2 × 4 矩阵：A B =110211 1101 0123 3111 1 1 ( 1) 00 3 1 1 ( 1) ( 1)0 1 1 0( 1) 20 1 1 ( 1)( 1) 30 12 1 1 0 1 32 1 1 ( 1) 1 12 0 1 2 1 12 ( 1) 1 3 1 112245232                                 本例中, 因 B 的列数不等于 A 的行数，所以 B A 无意义.例例 5 计算 A B 与 B A ，其中（1） A = ，B = ； 21 1 101 10 11 01  （2） A = ，B = ．11 11 21 01 解解（1） A B === 21 1 101 10 11 01  12 11 7B A == 10 1101  21 1 101 211312101 （2） A B ==11 11 21 01 20 22 B A == 21 01 11 11 3111 例 4 中，因 B 的列数不等于 A 的行数，故 B A 无意义；例 5（1）中，即使 A B 、B A 都有意义，但它们的阶数不相同；例 5（2）中，A B 与 B A 都有意义且阶数也相同，但 ABBA ．可见矩阵乘法不满足交换律.因此用一个矩阵去乘另一个矩阵时一定要指明是“左乘”还是“右乘”.许多对于数的乘法满足的运算律，对矩阵乘法不再成立。

在矩阵乘法中要注意以下几点：1° 一般情况下交换律不成立即 A B 不一定等于 B A ； 2° 一般情况下，消去律不成立即便 A B =A C ，A ≠ O ，也不一定有 B = C ．例如，取A=，B=，C=     1111     1112     2221计算知：A B =A C ，但. BC3°两个非零矩阵的乘积也可能是零矩阵换一句话说，即便 A B = O 也不一定有 A = O 或 B = O ．例如，取A=，B=     1111     2222计算知：A B = O ，但 A ≠ O 且 B ≠ O. 虽然一般而言交换律不成立，但对某些特殊矩阵来说，仍然可能有 A B = B A．例如对于两个 n阶对角矩阵A = 及 B = naaaO21nbbbO21显然有8A B = B A = nnbababaO2211若 A B = B A 则称矩阵 A 与 B 可交换可交换上式说明：两个同阶对角矩阵可交换.容易验证： EmAm × n= Am × nEn (2.8)即单位矩阵在矩阵乘法中所起的作用与数 1 在数的乘法中所起的作用相当,显然,当时,单位矩mn阵与同阶方阵可交换.对于数量矩阵，有()()aE AA aEaA即 n 阶数量矩阵与 n 阶方阵可交换，且乘积的结果等于数乘矩阵.矩阵的乘法运算满足运算律：(1) （A B）C =A（B。