(新高考)高考数学一轮复习第48讲《椭圆及其性质》达标检测(解析版).doc

第48讲 椭圆及其性质（达标检测）[A组]—应知应会1．（2019•北京）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（　　）A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b【分析】由椭圆离心率及隐含条件a2＝b2+c2得答案．【解答】解：由题意，，得，则，∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．故选：B．2．（•松原模拟）以椭圆的长轴端点作为短轴端点，且过点（﹣4，1）的椭圆的焦距是（　　）A．16 B．12 C．8 D．6【分析】求出椭圆短轴的端点坐标（0，±3），从而可以设出所求椭圆方程，结合它经过点（﹣4，1）列出关于a2的等式，然后求解椭圆的焦距．【解答】解：以椭圆的长轴端点作为短轴端点（0，±3），因此可设所求的椭圆方程为，∵经过点（﹣4，1），∴＝1，解之得a2＝18，a＝3，b＝3，则c＝3，因此，所求椭圆的焦距为6．故选：D．3．（•碑林区校级模拟）已知椭圆的离心率为，则实数m＝（　　）A．±2 B． C． D．±3【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解m即可．【解答】解：椭圆的离心率为，可得＝，解得m＝．故选：B．4．（春•池州期末）过点（2，），焦点在x轴上且与椭圆+＝1有相同的离心率的椭圆方程为（　　）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【分析】设出椭圆方程，利用点在椭圆上，转化求解即可．【解答】解：设焦点在x轴上且与椭圆+＝1有相同的离心率的椭圆方程+＝λ（λ＞0），把点（2，）代入椭圆方程，可得：λ＝2，所求椭圆方程为：+＝1．故选：D．5．（•吉林四模）已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，C的长轴长为2a，过F1的直线与C交于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|＝5|AB|，则|AF2|＝（　　）A． B．a C． D．a【分析】设出椭圆方程，利用已知条件，结合椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：由题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），连接AF2，如图所示：∵|AF1|＝3|BF1|，则|BA|＝4|F1B|，又4|BF2|＝5|AB|＝20|F1B|，可得|BF2|＝5|BF1|，由椭圆定义可得：|AF1|+|AF2|＝2a＝6|F1B|，所以|BF1|＝a，|AF1|＝a，可得|AF2|＝2a﹣a＝a，故选：D．6．（•福州三模）已知椭圆的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点F，并与y轴交于A，B两点．若，则C的焦距为（　　）A． B．2 C． D．4【分析】用c表示出M点坐标，根据垂径定理得出A，B的坐标，利用向量的数量积公式，计算c的值即可．【解答】解：设F（c，0），把x＝c代入椭圆方程可得+＝1，解得y2＝，不妨设M在第一象限，则M（c，），故圆M的半径为，∴AB＝，∴A（0，+），B（0，﹣），∴＝（﹣c，+），＝（﹣c，﹣），∴＝c2+﹣（﹣c2）＝4，解得c2＝2，c＝，∴椭圆C的焦距为2c＝2．故选：C．7．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）A．+y2＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．8．（春•成都期末）已知椭圆，焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）．过F1（﹣2，0）作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O（O为坐标原点）为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2＝（　　）A． B． C．4 D．12【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），四边形OF1AB为平行四边形，推出y1＝y2，推出x1＝﹣x2，又F1A∥OB，求出A的坐标，代入椭圆方程，利用c＝2，所以a2﹣b2＝c2即可求出b2，得到选项．【解答】解：依题意可知，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为四边形OF1AB为平行四边形，所以y1＝y2，又，，所以x1＝﹣x2，又F1A∥OB，且直线F1A的倾斜角为60°，所以，因为y1＝y2，x2＝﹣x1，所以x1＝﹣1，x2＝1，，所以，将其代入，得➀又c＝2，所以a2﹣b2＝c2②所以联立①②解得，，故选：B．9．（多选）（春•桃江县期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆C的长轴长为【分析】由焦距的值及P的坐标可得PF2⊥x轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P，F2，Q三点共线时|QP|+|QF1|取到最小值，因为P在椭圆内可得b＞1，可得短轴长大于2，由P在椭圆内可得长轴长2a大于|PF1|+|PF2|，进而可得椭圆的离心率的范围；，可得F1为PQ的中点，由P，F1的坐标求出Q的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a＝|QF1|+|QF2|的值．【解答】解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正确；D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D正确，故选：AD．10．（•青岛模拟）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为　 　．【分析】利用已知条件列出不等式求解即可．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得1﹣m＞m＞0，解得m∈．故答案为：（0，）．11．（•桃城区校级模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为　　 ．【分析】利用已知条件求出b，结合两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，得到ac关系式，然后求解a，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的短轴长为，即，∴，即a2﹣c2＝24（*）．∵2个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴，得a＝5c，代入（*）式，解得c＝1，a＝5，故该椭圆的标准方程为．故答案为：．12．（•平湖市模拟）已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|﹣|BF2|＝，则△AF1F2的面积为　 　．【分析】由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0），，可得xA，由，可得xB即可得k2，从而求得yA即可．【解答】解：设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0）．，可得xA＝，由，可得xB＝，由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，故，∴，解得k2＝1，∴xA＝0，yA＝1，∴则△AF1F2的面积为s＝．故答案为：1．13．（•天心区校级模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是　　 ．【分析】利用已知条件求出a，b，结合椭圆的定义，利用基本不等式转化求解表达式的最小值即可．【解答】解：据题意，b＝1，解得a＝2，，于是|PF1|+|PF2|＝2a＝4，所以＝，当且仅当|PF2|＝2|PF1|，即，时等号成立．故答案为：．14．（•黄州区校级二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有∠AFB≥120°，则椭圆C离心率的取值范围为　　 ．【分析】设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，于是把原问题转化为求∠FAE≤60°时，离心率的取值范围；然后在△AFE中，结合椭圆的定义、余弦定理和基本不等式列出关于离心率e的不等式，解之即可得解．【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，∵∠AFB≥120°，∴∠FAE≤60°．设AE＝m，AF＝n，由椭圆的定义可知，m+n＝2a，由基本不等式的性质可知，mn≤，在△AFE中，由余弦定理知，cos∠FAE＝＝＝，∵∠FAE≤60°，∴cos∠FAE∈[，1），∴1﹣2e2，解得，∵0＜e＜1，∴离心率e∈（0，]．故答案为：（0，]．15．（•浙江模拟）如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是　 ．【分析】设A，Q的坐标，由题意可得B，P的坐标，由AB⊥AQ及B，M，N三点共线可得，将A，Q的坐标代入椭圆的方程可得+＝0，进而可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），Q（x2，y2）），则B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），由AB⊥AQ，则，再由B，M，Q三点共线，则，故，即，又因为，，即+＝0，所以，故椭圆C的离心率是．故答案为：．16．（2019•浙江）已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是　　 ．【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．【解答】解：椭圆＝1的a＝3，b＝，c＝2，e＝，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，设P的坐标为（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为＝．另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，|FF'|＝2c＝4，可得cos∠PFF'＝＝，sin∠PFF'＝＝，可得直线PF的斜率为＝．故答案为：．17．（2019秋•兴庆区校级期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）已。