考点04 不等式及性质【命题解读】不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除基础知识回顾】 1、两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2、不等式的性质(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒ac； (3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； c<0时应变号．(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．3、常见的结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0b>0,0.(4)0b>0，m>0，则(1)<；>(b－m>0)．(2)>；<(b－m>0)．1、下列四个命题中，为真命题的是( )A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，c>d，则a－c>b－dC．若a>|b|，则a2>b2D．若a>b，则<【答案】 C【解析】 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，当时，，故B错误，，，则，故C正确，，，故D正确.故选：CD．3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.A．若，则B．若，，则C．若，且，则D．若，且，则【答案】BCD【解析】选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.选项B：已知，，所以，∴，故，∴本命题是真命题.选项C：，∵，∴，∴本命题是真命题.选项D：，∵，∴，∴，∴本命题是真命题.故选：BCD4、若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.5、已知－1y>0，则( )A．－>0 B．sinx－siny>0C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0【答案】 C【解析】 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0¿xy>1¿ln (xy)>0¿ln x＋ln y>0，故D错误．变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ）A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则【答案】AD【解析】对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，，显然B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，因为，，所以，，所以所以，即成立，故D正确．故选AD．方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.考向二 不等式的比较大小例2、设a>b>0，试比较与的大小．解法一(作差法)：－＝＝．因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．所以>0，所以>．解法二(作商法)：因为a>b>0，所以>0，>0．所以＝＝＝1＋>1．所以>．变式1、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )A．pq D．p≥q【答案】： B【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故pb>0，比较aabb与abba的大小．【解析】∵ ＝＝，又a>b>0，故>1，a－b>0，∴>1，即>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.变式3、设00且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小解法一：当a>1时，由00，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．当0|loga(1＋x)|．解法二(平方作差)：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga＝loga(1－x2)·loga>0．∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．方法总结：比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小考向三 运用不等式求代数式的取值范围例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.【答案】[5，10]【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.变式1、设那么的取值范围是____________．【答案】 【解析】：由题设得∴，∴ 变式2、(2020·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－<2α－β< D．0<2α－β<π【答案】C【解析】：∵－<α<，∴－π<2α<π.∵－<β<，∴－<－β<，∴－<2α－β<.又α－β<0，α<，∴2α－β<.故－<2α－β<.方法总结：求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．2、（2016•新课标Ⅰ，理8）若，，则 A． B． C． D．【答案】C【解析】，，函数在上为增函数，故，故错误，∵函数在上为减函数，故，故，即；故错误；∵，且，，即，即．故错误；，故，即，即，故正确；故选．3、（2014山东）若，，则一定有（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以，故选D．4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当，有，故A 正确；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；对D，成立，从而有成立，故D正确；故选：AD.5、已知，，则的取值范围是 【答案】【解析】令则，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．则．6、若则的大小关系是________．【答案】【解析】：7、(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；(2)已知c>a>b>0，求证：>.证明 (1)∵bc≥ad，bd>0，∴≥，∴＋1≥＋1，∴≤.(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴<，又∵c>0，∴<，∴<，又c－a>0，c－b>0，∴>.8、已知1
