高考数学(理数)一轮复习学案6．4《数列求和及应用》(含详解).doc

6．4　数列求和及应用1．数列求和方法(1)公式法(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．(Ⅱ)常见数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝ ；②2＋4＋6＋…＋2n＝ ；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝ ；④12＋22＋32＋…＋n2＝ ；⑤13＋23＋33＋…＋n3＝．(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式：①＝ －；②＝ ；③＝ ；④＝ (－)；⑤＝ －；⑥C＝ ；⑦n·n！＝ ！－n！；⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．2．数列应用题常见模型(1)单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．(2)复利公式利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ ．(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ ．(4)递推型递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．自查自纠：1．(1)①　②n2＋n　③n2　④(5)①　②　③　④　⑤⑥C－C　⑦(n＋1)2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数列{1＋2n－1}的前n项和为 (　　)A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．故选C． ＋＋＋…＋的值为 (　　)A． B．－C．－ D．－＋解：因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝＝－．故选C． 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 020＝ (　　)A．－3 030 B．3 030 C．－3 033 D．3 033解：a1＋a2＋…＋a2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2 019－2)－(3×2 020－2)]＝(－3)×1 010＝－3 030．故选A． 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 020＝________．解：由题意得a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，所以数列{an}是周期为3的周期数列，且a1＋a2＋a3＝1－－2＝－，所以S2 020＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＝673×＋1＝－．故填－． 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7．故填7．类型一　基本求和问题　(1)1＋＋＋…＋＝________．解：设an＝1＋＋＋…＋＝＝2＝2－，分组求和可得数列{an}的前n项和Sn＝2n－＝2n－2＋，则S21＝2×21－2＋＝40＋．故填40＋．(2)1＋＋＋…＋＝________．解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则an＝＝2，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝．故填．(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．解：因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1．令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，①则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝．(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋．解：(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝．(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋…＋＋，②由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝．综上所述，Sn＝点　拨：研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．　(1)数列9，99，999，…的前n项和Sn＝________．解：Sn＝9＋99＋999＋…＋99…9n个＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n－1)＝(101＋102＋103＋…＋10n)－n＝－n＝－n．故填－n．(2)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，则S2 019＝________．解：由条件得到数列{an}的通项为an＝＝，则an＋1＝，所以bn＝＝＝4，则Sn＝4(1－＋－＋…＋－)＝4＝，将n＝2 019代入得到S2 019＝．故填．(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．解：令Sn＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①则Sn＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°．②①与②两边分别相加得2Sn＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89．所以Sn＝．(4)已知an＝，求{an}的前n项和Tn．解：Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②①－②得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝－－，所以Tn＝－－＝－．类型二　可用数列模型解决的实际问题　用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%．若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，故a1＝100＋2 000×0．01＝120(万元)，a2＝100＋(2 000－100)×0．01＝119(万元)，a3＝100＋(2 000－100×2)×0．01＝118(万元)，a4＝100＋(2 000－100×3)×0．01＝117(万元)，…an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0．01＝121－n(万元) (1≤n≤20，n∈N*)．因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．故a10＝121－10＝111(万元)．故填111．点　拨：将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．　　　某气象学院用3．2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了(　　)A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天解：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4．95，当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800．故选B．类型三　数列综合问题　()设数列{an}是公差大于0的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝2n－1(n∈N*)，设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜6．解：(1)设数列{an}的公差为d，则d＞0．因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3．因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，所以d＝2．所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1．(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝＝(2n－1)，所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)× ，　①所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，　②由①②两式相减得Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－．又因为n∈N*，所以Tn＝6－＜6．点　拨：数列的综合问题大都是建立在数列概念、等差等比数列及数列求和基础上的与函数、不等式等知识的综合应用，要牢记数列是特殊函数，如单调性放缩技巧．　()Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28．记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1 000项和．解：(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，所以a4＝4，所以d＝＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n．所以b1＝[lga1]＝[lg1]＝0，b11＝[lga11]＝[lg11]＝1，b101＝[lga101]＝[lg101]＝2．(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga1 000]．当0≤lgan<1时，n＝1，2，…，9；当1≤lgan<2时，n＝10，11，…，99； 当2≤lgan<3时，n＝100，101，…，999；当lgan＝3时，n＝1 000．所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝ 1 893．1．数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的．3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平。