第十三章函数列和函数项级数.ppt

第十三章函数列和函数项级数或 总有例１例１证明它的收敛证证:(3)它显然是发散的,所以函数列例例2 2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0证：证：由于对任何实数都有 故，对任意给定的，就有定义定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题一致收敛于一致收敛于f 的几何意义的几何意义:不一致收敛于不一致收敛于f 的几何意义的几何意义: 函数列在函数列在D上不一致收敛的定义：上不一致收敛的定义：定理定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)(4)证证: [必要性][充分性]一点都收敛，记其极限函数为(5)定理定理13.2证证: [必要性]由上确界的定义有由此证得（6）式成立[充分性]有由（7）式得（6）（7）例例3证明证：证：于是， 但由于 因此 ， 该函数列在 上不一致收敛二二. 函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性称为定义在Ｅ上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。

级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点若发散，则称为的收发散点也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性当当当当定理定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：推论：定义定义2å.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例例4定理定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在[-a，a]（a<1）上讨论，由 可知级数在[-a，a]上一致收敛若在（-1，1）上讨论这个级数，则由（（））（（））在（-1，1）内不一致收敛又对一切根据函数项级数一致收敛的柯西准则，一致收敛三三三三. .函数项级数的一致收敛性判别法函数项级数的一致收敛性判别法函数项级数的一致收敛性判别法函数项级数的一致收敛性判别法定理定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）证：证：例例5 5 证明函数项级数在上一致收敛在 证：证：由于对一切有 而正项级数是收敛的，所以函数项级数上也收敛定理定理13.6 13.6 （阿贝耳判别法）设在区间I上一致敛； 是单调的；（2）对每一个（1）（3）则级数在区间Ｉ上一致收敛 证：证：由（1），使得当时，对任意正整数p及有 又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理的推论）得到 由此柯西准则定理得证。

定理定理13.7 （狄利克雷判别法）设（1）的部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调的；（3）在I上一致收敛于零则级数在区间I上一致收敛 证：证：由（1），，对一切因此当n，p为任意正整数时， 对任何一个由（2）及阿贝尔引理，得到 再由（3），对任给的　，存在正整数N，当n>N时，对一切有所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛 例例6 6 函数项级数在[0，1]上一致收敛因为记时，由阿贝耳判别法即得结果例例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛 证：证：因为在上有所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。