新教材2022版数学湘教版必修第一册课件-3.2.2函数的奇偶性.pptx

第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质3.2.2函数的奇偶性1 |偶函数、奇函数的图象特征1.如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,就称F(x)是偶函数.2.如果F(x)的图象是以原点为中心的中心对称图形,就称F(x)是奇函数.第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质2 |偶函数、奇函数的定义偶函数奇函数定义如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数定义域特征关于原点对称第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质1.已知f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.( )2.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( )提示:对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x),函数y=f(x)才是奇函数.3.奇函数的图象一定过原点.( )4.函数f(x)=|x|,x-1,1)是偶函数.( )提示:函数f(x)=|x|的定义域-1,1)不关于原点对称,所以函数f(x)不具有奇偶性.5.f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.()提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.6.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.()提示:存在f(x)=0,xD(定义域D关于原点对称),f(x)既是奇函数,又是偶函数,由于D有无数个,因此这样的函数也有无数个.判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” .第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质7.若f(x)为奇函数且在区间a,b(0a0,f(x)=,于是任取xD,都有f(-x)=-=-f(x),f(x)为奇函数.(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),f(x)为偶函数.(3)函数的定义域D=(-,0)(0,+),关于原点对称.任取xD,第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质当x0时,-x0,则f(-x)=-=f(x);当x0,则f(-x)=-=f(x).综上,函数f(x)为偶函数.第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质2|函数奇偶性的应用1.由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义域中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.2.由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时,若函数具有奇偶性,则利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.3.由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为1;(2)若f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值为6;(3)如果f(x)是R上的奇函数,且当x0,+)时,f(x)=x(1+),那么当x(-,0)时,f(x)=x(1-).解析(1)解法一:f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,f(-x)=f(x)恒成立,即(m-2)(-x)2+(m-1)(-x)+3=(m-2)x2+(m-1)x+3恒成立,(m-1)x=0恒成立,m-1=0,即m=1.解法二:若m=2,则f(x)=x+3,不是偶函数,舍去.若m2,则f(x)图象的对称轴为直线x=-.f(x)为偶函数,-=0,m=1.第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质(2)设g(x)=x5+ax3+bx,则f(x)=g(x)+8.f(-2)=g(-2)+8=10,g(-2)=2.易知g(x)是奇函数,g(2)=-g(-2)=-2,f(2)=g(2)+8=-2+8=6.(3)设x(-,0),则-x(0,+),f(-x)=-x(1+)=-x(1-).f(x)是R上的奇函数,f(x)=-f(-x)=x(1-),x(-,0).第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质3|函数奇偶性与单调性的综合应用1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.3.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再根据函数的单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响.第1讲描述运动的基本概念第3章函数的概念与性质定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解析因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上单调递减,所以f(x)在-2,2上单调递减,所以f(1-m)f(m)等价于解得-1m.所以实数m的取值范围为.。