高中数学北师大版选修12学案：1.1 回归分析 Word版含解析.doc

北师大版2019-2020学年数学精品资料§1　回归分析1．1　回归分析1．2　相关系数1．3　可线性化的回归分析1．了解回归分析的思想和方法．(重点)2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1　回归分析阅读教材P3～P6“练习”以上部分，完成下列问题．设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b＝＝＝，a＝－b.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(　　) 【导学号：67720000】A．63.6万元　　　　 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元【解析】　＝＝3.5，＝＝42，∴a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B．【答案】　B教材整理2　相关系数阅读教材P6“练习”以下至P9“练习”以上部分，完成下列问题．1．相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝＝＝.2．相关系数r与线性相关程度的关系(1)r的取值范围为[－1,1]；(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；(3)|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．3．相关性的分类(1)当r>0时，两个变量正相关；(2)当r<0时，两个变量负相关；(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．(　　)(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　)(3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√教材整理3　可线性化的回归分析阅读教材P9～P13“练习”以上部分，完成下列问题．1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axb(a＝1，b＞0)　(a＝1，b＜0)c＝ln av＝ln xu＝ln yu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)　(a＞0，b＜0)c＝ln au＝ln yu＝c＋bx曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝ae(a＞0，b＞0)　(a＞0，b＜0)c＝ln av＝u＝ln yu＝c＋bvy＝a＋bln x(b＞0)　　(b＜0)v＝ln xu＝yu＝a＋bv下列数据x，y符合哪一种函数模型(　　)x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A．y＝2＋x　　　　 B．y＝2exC．y＝2e D．y＝2＋ln x【解析】　分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋ln x.【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：___________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：___________________________________________[小组合作型],变量间的相关关系及判定　(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1­1­1①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1­1­1②.由这两个散点图可以判断(　　)图1­1­1A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)(2016·上饶高二检测)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有(　　)A．①②　　　　　　　 B．②③C．①③ D．①②③(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是(　　)A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤【精彩点拨】　可借助于线性相关概念及性质作出判断．【自主解答】　(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C．(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C．(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C．【答案】　(1)C　(2)C　(3)C1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．[再练一题]1．下列两变量中具有相关关系的是(　　)A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积【解析】　选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．【答案】　B,求线性回归方程　(2016·九江高二检测)某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055(1)算出线性回归方程y＝bx＋a(a，b精确到0.1)；(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．【精彩点拨】　(1)可利用公式求解；(2)把月平均气温代入回归方程求解．【自主解答】　(1)由散点图易判断y与x具有线性相关关系．＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1 267，x＝526，b＝＝≈－2.01，a＝－b≈38－(－2.01)×10＝58.1，所以线性回归方程为y＝－2.01x＋58.1.(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.01x＋58.1＝－2.01×6＋58.1≈46(件)．1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在做回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．4．回归直线必过样本点的中心点．[再练一题]2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 【导学号：67720001】【解】　(1)如图：(2)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝4，x＝62＋82＋102＋122＝344，b＝＝＝0.7，a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程知当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[探究共研型],可线性化的回归分析探究1　如何解答非线性回归问题？【提示】　非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：探究2　已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1; ②y＝log2x；③y＝4x; ④y＝x2.【提示】　观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110体重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程；(2)如果一名在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】　先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．【自主解答】　(1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，列表如下：x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散点图，如下：由表中数据可求。