常微分方程常用数值解法综述.doc

第一章 绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。

首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析从而得到常微分方程的常用数值解法1.2 常微分方程的概念1.常微分方程的定义含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必须满足的某些条件一般说来，凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程如果微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，则称为常微分方程；如果未知函数依赖于两个或多个的自变量，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程在在一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是线性的，则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。

本论文主要介绍常微分方程，也简称微分方程 以为未知函数，为自变量的一阶常微分方程的一般形式可表示为微分方程， (1.2.1) 将（1.2.1）中解出，则得到方程 (1.2.2)或 (1.2.3)也称（1.2.1）为一阶隐式微分方程，（1.2.2）为一阶显式微分方程，（1.2.3）为一阶微分方程的微分形式 阶隐式方程的一般形式为 (1.2.4) 阶显式方程的一般形式 (1.2.5)方程（1.2.4）中，如果函数对未知函数和它的各阶导数都是一次的，则称其为线性常微分方程，否则，称其为非线性微分方程以为未知函数，为自变量的阶线性微分方程具有如下形式： (1.2.6) 2.常微分方程的解 设函数是定义在区间上的阶可微导数如果把代入方程（1.2.4）后能使其成为恒等式，即 则称是微分方程（1.2.4）在区间上的一个解。

例如，是微分方程在的一个解.是微分方程在区间的一个解.如果关系式决定的隐函数是方程（1.2.4）的解，则我们称是（1.2.4）的隐式解例如一阶微分方程 有隐式解 我们把含有个相互独立的任意常数的解 称为阶微分方程（1.2.4）的通解在通解之中当一组任意常数确定时，所得到确定的解称为特解例如，是二阶线性方程的通解，而都是其特解，其中是任意常数一般地，方程的特解可由其通解中任意常数取确定的常数导出，且方程的通解不一定表示方程的所有解3. 常微分方程初值问题为了确定微分方程的一个特解，我们可以给出这个微分方程的所满足的定解条件，常见的定解条件是初始条件，即方程（1.2.4）在某一点所满足的条件： （1.2.7）微分方程（1.2.4）连同初始条件（1.2.7）一起称为初始值问题 一阶常微分方程初值问题是求解函数，且满足 （1.2.8）其中为已知函数，为给定的初值。

定理1.2.1 假设在矩形区域内连续，且关于变元Lipschitz连续，即存在正常数，使得对任意及，成立不等式 (1.2.9)其中常数称为Lipschitz常数,则处置问题存在惟一解，连续依赖于初值由常微分方程的基本理论，我们有：换句话说，若是如下初值问题 (1.2.10)的解，则 因此问题（1.2.8）是适定的定理1.2.2 当假定函数满足定理1.2.1中的条件时，也即微分方程（1.2.8）的解是适定的 综上，高阶常微分方程初值问题一般为 (1.2.11)其中为给定值引进新的变量函数 (1.2.12)则初值问题（1.2.11）化成了一阶常微分方程组初值问题 (1.2.13)通过求解（1.2.13）得到（1.2.11）的解1.3 常微分方程常用数值解法的思路一般说来，对于某些典型微分方程可以通过初等积分法求解，而对于复杂微分方程，需要得到解在若干个点上的近似值或者便于计算的近似表达式即可。

本论文讲研究常微分方程常用数值解法及其matlab程序设计对于一阶常微分方程的初值问题为 (1.3.1)求微分方程初值问题（1.3.1）的数值解，就是求解函在一系列离散点上精确值的近似值由于计算的复杂及繁冗，在计算常微分方程初值问题的数值解是一般使用Matlab软件进行编程计算，按如下步骤：（1）引入点列，其中，称为步长为了便于使用计算机进行编程计算，一般取步长为定值，即，， (2.2)（2）使用常微分方程常用数值解方法，即输入由计算出的递推公式3）利用（2）中的公式逐步求出近似解第二章 单步法所谓单步法是指这类方法在计算时，只用到前一步的值，然后逐步往下计算单步法的精度不高，这是它的缺点但我们只要给定初值就可以计算，所以还是比较方便的以下我们介绍两种典型的单步法：Euler法和Runge-Kutta法2.1 Euler法为了计算出初始值问题 （2.1.1） 在这一区间上若干个点上解的近似解，我们将此区间等分，令为（2.1.1）的解，即当时精确值的近似解。

我们的任务是要用尽可能简单的方法求出与尽可能接近的值Euler法又称Euler折线法，Euler折线法是数值解法最简单的一种Euler折线法的基本思想是利用微分中值定理对（2.1.1）的解函数进行近似由于是可微函数，故 其中，是介于和之间的一个值当比较小时，和相差不大，故用代替上式中的，就得到了的近似值 当知道以后，再用类似方法来求在点的近似值 （2.1.2）这样就得到了（2.1.1）的解在点的近似解，从几何上看，Euler折线法就是在局部范围内用切线上的值去替代解曲线上的值Euler公式在实际计算时较少采用，但由于它的结构简单，易于分析，在理论上具有非常重要的意义2.1.1 向前Euler法Euler折线法的计算量小，但误差大，后来人们对Euler折线法进行了改进：由方程（2.1.1），在节点处成立 （2.1.3）将在处利用Taylor展开式展开，得 其中将将式（2.1.3）代入上式得 （2.1.4） 在式（2.1.4）中略去高阶项 （2.1.5）并用和分别代替式（2.1.4）中的和，可得Euler公式（也称向前Euler公式： （2.1.6）2.1.2 向后Euler法向后Euler法和向前Euler法相差不大，只是将在处利用Taylor展开式展开，得 其中将将式（2.1.3）代入上式得 （2.1.7） 在式（2.1.7）中略去高阶项，并用和分别代替式（2.1.7）中的和，可得向后Euler公式： （2.1.8）其中，局部截断误差为 因此，向后Euler公式同向前Euler公式，为一阶方法。

向前Euler公式（2.1.6）和向后Euler公式（2.1.8）相比，向前Euler公式关于是显式格式而向后Euler公式中，隐含在方程中，称这样的格式为隐式格式2.1.3 中点差分公式法若将展开式（2.1.4）和（2.1.7）多展开一项，得 其中将上述两式相减并整理得 其中略去高阶项，并用和代替上式中 和，即得中心差分公式 （2.1.9）其局部截断误差为 即中心差分公式为二阶方法2.1.4 梯形公式如果将（2.1.1）中微分方程两端从到积分，则得 b 如果用梯形求积公式计算上式中的积分，则有 略去高阶项可得梯形公式： (2.1.10)其中，局部截断误差为 显然，梯形公式为二阶隐式公式2.1.5 改进Euler法一般来说，隐式格式比显示格式具有较好的数值稳定性但是，由于在隐式格式里，往往满足。