【教案】数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学.docx

学习必备 欢迎下载第十七章 多元函数微分学教学目的： 1.懂得多元函数微分学的概念，特殊应把握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.把握多元函数特殊是二元函数可微性及其应用；教学重点难点 ：本章的重点是全微分的概念、 偏导数的运算以及应用； 难点是复合函数偏导数的运算及二元函数的泰勒公式；教学时数 ：18 学时 1 可微性一． 可微性与全微分：1． 可微性： 由一元函数引入 . 亦可写为 ,时 .2． 全微分 :例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1二. 偏导数 :1. 偏导数的定义、记法 :2. 偏导数的几何意义 : P109 图案 17— 1.学习必备 欢迎下载3. 求偏导数 :例 2 , 3 , 4 .例 5P109 — 110例 2 , 3 , 4 ..求偏导数 .例 6.求偏导数 .例 7. 求偏导数 , 并求.例 8. 求和 .解 = ,= .例 9证明函数 在点 连 续 , 并求 和 .证. 在点 连续 .,学习必备 欢迎下载不存在 .三. 可微条件 :1. 必要条件 :Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可 微 ,和 存在 , 且. 〔 证 〕由于 , 微分记为.定理 1 给出了运算可微函数全微分的方法 .两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 .例 10 考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例 5 .2. 充分条件 :学习必备 欢迎下载Th 2 如函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 就函数 在点 可微 . 〔 证 〕 P111Th 3 如 在点 处连续 , 点 存 在 ,就函数 在点 可微 .证.即 在点 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例 11验证函数 在点 可微 , 但 和 在点 处不连续 . 〔 简证,留为作业 〕证学习必备 欢迎下载因此 , 即 ,在点 可微 , . 但 时, 有,沿方向 不存在 , 沿方向 极限不存在 ; 又 时,,因此, 不存在 , 在点 处不连续 .由 关于 和 对称, 也在点 处不连续 .四. 中值定理 :Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 如 属于该邻域 , 就存在 和 ,, 使得. 〔 证 〕例 12 设在区域 D 内 . 证明在 D 内 .五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六. 可微性的几何意义与应用：学习必备 欢迎下载1． 可微性的几何意义： 切平面的定义 . P113.Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微 . 〔 证 略 〕2. 切平面的求法 : 设函数 在点 可微 ，就曲面在点 处的切平面方程为 （ 其中），法线方向数为 ，法线方程为 .例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程 . P115 例 63. 作近似运算和误差估量 : 与一元函数对比 , 原理 .例 14求的近似值 .P115 例 7例 15,应用公式. 如测量运算某三角形面积的误差为.现测得的误差为. 求用此公式运算该三角形面积时的肯定误差限与相对误差限 . P116. 2 复合函数微分法学习必备 欢迎下载简介二元复合函数 : .以以下三种情形介绍复合线路图;, ;.一. 链导法就 : 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数 在点 D 可微 , 函数在点 可微 , 就复合函数在点 可微, 且,. 〔 证 〕 P118称这一公式为 链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓 “分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘” ）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情形，用“并联加，串 联乘”的原就可写出相应的链导公式 .学习必备 欢迎下载链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 .对外 元 , 内 元 ,有， .外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数 .例1 . 求 和 . P120 例1例 2 , . 求 和 .例 3 , 求 和 .例 4 设函数 可微 . .求 、 和 .例 5 用链导公式运算以下一元函数的导数 :ⅰ> ; ⅱ > . P121 例 4例 6 设函数 可微. 在极坐标变换 下 ,证明学习必备 欢迎下载. P120 例 2例 7 设函数 可微 , . 求证.二. 复合函数的全微分 : 全微分和全微分形式不变性 .例 8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出 和.P122 例 5 3 方向导数和梯度一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 .为从点 动身的射线 . 为 上且含于 内的任一点 ,以 表示 与 两点间的距离 . 如极限存在 , 就称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 , 记为 或、 .学习必备 欢迎下载对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 .易见 , 、 和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、 轴正向和 轴正向的方向导数 .例 1 = . 求 在点 处沿 方向的方向导数 , 其中 ⅰ> 为方向 ; ⅱ > 为从点到点 的方向 .解 ⅰ> 为方向的射线为 . 即. ,.因 此 ,ⅱ> 从点 到点 的方向 的方向数为方向的射线为 ., ;.因 此 ,学习必备 欢迎下载2. 方向导数的运算 :Th 如函数 在点 可微 , 就 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且+ + ,其中 、 和 为 的方向余弦 . 〔 证 〕 P125对二元函数 , + , 其中 和是 的方向角 .註 由 + + == , , , , ,可见 , 为向量 , , 在方向 上的投影 .例 2 〔 上述例 1 〕解 ⅰ> 的方向余弦为 = , = ,= .=1 , = , = .因此 , = + += .学习必备 欢迎下载ⅱ > 的方向余弦为= , = , = .因此 , = .可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例 3 P126 .二. 梯度 〔 陡度 〕:1. 梯度的定义 : , , .| = .易见 , 对可微函数 , 方向导数是梯度在该方向上的投影 .2. 梯度的几何意义 : 对可微函数这是由于,梯度方向是函数变化最快的方向 .|其中 是 与 夹角. 可见.时 取最大值 , 在 的反方向取最小值 .3. 梯度的运算 :学习必备 欢迎下载ⅰ>.ⅱ>〔 +〕 =ⅲ>ⅳ>〔 〕 =+.ⅴ>〔 〕 =+ ...证ⅳ> , .. 4 Taylor 公式和极值问题一、高阶偏导数 :1. 高阶偏导数的定义、记法：例 9 求二阶偏导数和 . P128 例 1例 10 . 求二阶偏导数 . P128 例 22. 关于混合偏导数 : P129 —131.学习必备 欢迎下载3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数 : 公式 , P131-132例 11 . 求 和 . P132 例 34. 验证或化简偏微分方程 :例 12 . 证明 + . 〔 Laplace 方程 〕例 13 将方程 变为极坐标形式 .解 ., , , ., ;因此, .方程化简为 .例 14 试确定 和 , 利用线性变换 将方程化为 .学习必备 欢迎下载解 , .= + + + == +2 + .= + + + == + + .= + + .因 此 ,+ 〔 + .令 , 或或 , 此时方程 化简为 .二． 中值定理和泰肋公式：凸区域 .学习必备 欢迎下载Th 1 设二元函数 在凸区域 D 上连续 , 在 D 的全部内点处可微 .就对 D 内任意两点 D , 存在 , 使.证 令 .系 如函数 在区域 D 上存在偏导数,且,就是 D 上的常值函数 .二. Taylor 公式:Th 2 〔 Taylor 公式〕 如函数 在点。