[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟题概率论与数理统计(三).docx

[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟题概率论与数理统计(三)选择题问题:1. 齐次方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A.A是n阶可逆矩阵．B.非齐次方程组Ax=b无解．C.A的列向量组线性无关．D.A的行向量组线性无关．答案:C[解析] 设A是m×n矩阵，则齐次方程组Ax=0只有零解r(A)=nA的列向量组线性无关．故应选C． 注意①方程组不一定是n个方程n个未知数，所以A是充分条件，不必要． ②方程组Ax=b无解r(A)≠r．此时r(A)可以为n也可以不等于n． 例如都有方程组Ax=b无解．但齐次方程组和前者只有零解后者有非零解，所以B既不充分也不必要． ③请你举例说明D既不是充分条件也不是必要条件． 问题:2. 设A为秩是r的m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是A.r=m．B.m=n.C.r=n．D.m＜n．答案:A[解析] 因为A是m×n矩阵，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也必线性无关．因此，r(A)=r=m，即方程组Ax=b必有解．但方程组有解时，并不要求秩必为m．所以A是充分条件．那么B、C、D错在何处? 当m=n时，A是秩为r的n阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是r，因此推导不出方程组必有解； 当r(A)=n时，增广矩阵的秩r有可能是n+1，因此不能保证Ax=b必有解．(注意A是m×n矩阵，m有可能大于n)你能举个反例吗? 当方程个数小于未知数个数时，Ax=b是否有解仍是不确定的．所以B、C、D均不是方程组有解的充分条件． 请考查下列方程组，以说明B、C、D均不正确 问题:3. 设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是A.秩r(A)=min(m，n)．B.A的行向量组线性无关．C.m＜n．D.A的列向量组线性无关．答案:B[解析] 因为线性方程组Ax=b有解r(A)=r(A，b)当A的行向量组线性无关时，有r(A)=m，那么此时亦有r(A，b)=m，所以方程组Ax=b有解． 但是当A的行向量组线性相关时，方程组Ax=b也可能有解．例如，故B是充分条件． 注意①当m≤n时，若r(A)=min(m，n)=m，方程组Ax=b有解，而m＞n时，由r(A)=nr(A，b)=n，故A不正确．例如，有r(A)=2而r=3． ②当m＜n时，齐次方程组Ax=0肯定有非零解．而非齐次线性方程组Ax=b则可以无解，这里不要混淆．例如，故C不正确． ③关于D即r(A)=n可能看①． 问题:4. 设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知数且m≠n，则正确命题是A.若Ax=0只有零解，则Ax=b必有唯一解．B.若Ax=0有非零解，则Ax=b必有无穷多解．C.若Ax=b无解，则Ax=0只有零解．D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0必有非零解．答案:D[解析] Ax=0只有零解r(A)=n，但r(A)=nr=n，所以A不正确． Ax=0有非零解r(A)＜n，但r(A)＜nr(A)=r，所以B不正确． Ax=b无解r(A)≠r，但r(A)≠rr(A)＜n，所以C不正确． Ax=b有无穷多解r(A)=r＜n，自然有r(A)＜n，故D正确． 请构造简单的反例说明A、B、C均错误． 问题:5. 设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是A.若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．B.若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．C.若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．D.若A中有m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．答案:A[解析] A是m×n矩阵，若A中有n阶子式不为零，而A中又不存在n+1阶子式，故必有r(A)=n．同理，若A中有m阶子式不为零，则必有r(A)=m，本题就是考查秩与方程组解之间的关系. 对于(A)，因为r(A)=n，而Ax=0是n个未知数的齐次方程组，所以Ax=0必只有零解． 关于B，当r(A)=n时，增广矩阵的秩有可能是n+1，所以Ax=b可能无解．即B不正确．为此，请思考下例 有r(A)=2，r=3，方程组无解. 至于C和D，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以r=m．因此，方程组Ax=b必有解．但是否必有唯一解?Ax=0是否只有零解都是不确定的． 例如， 仅当m=n时，C、D才正确． 本题涉及矩阵的秩、向量组的秩的概念及相互关系，Ax=0及Ax=b解的理论．另外要注意的是，当A是m×n矩阵且r(A)=n时，不要误以为必有r=n，因为r=n+1是有可能的． 问题:6. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为 A．. B．. C．. D．.答案:B[解析] 由α1+2α2-α3=β知 即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解．那么 η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T 是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1、α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构B入选． γ3-γ1=(1，1，2，2)T也是Ax=0的解，D的错误在于Ax=b的特解不正确，而A和C的特解是正确的，错在Ax=0的基础解系． 这一类题目考查解的性质与解的结构．既要检查是不是Ax=b或Ax=0的解，还要检查是否符合解的结构． 问题:7. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有A.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．B.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D.(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．答案:A[解析] 如果α是(Ⅰ)的解，有Aα＝0，可得 ATAα=AT(Aα)＝AT0＝0 即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解． 反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得 (Aα)T(Aα)=(αTAT)(Aα)=αT(ATAα)=αT0=0 若设Aα=(b1，b2，…，bn)T，那么 (Aα)T(Aα)==0 bi=0(i=1，2，…，n) 即Aα=0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A． 若α=(α1，α2，…，α3)T，则αTα=，因此 αTα=0α=0 要熟悉内积，习惯符号αTβ，αTα等含义． 问题:8. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解． (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解． (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解． (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解． 以上命题中正确的是 A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)答案:A[解析] 若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题(1)正确． 下面的问题是选A还是选B?即(2)与(4)哪一个命题正确? 如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有： 若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边，并把An+1α=0，An+2α=0，……代入，得 kAnα=0， 由于Anα≠0而知必有k=0．类似地用An-1左乘可得k1=0，…… 因此，α1，Aα，A2α，…，Anα线性无关．但另一方面，这是n+1个n维向量它们必然线性相关，两者矛盾．故An+1α=0时，必有Anα=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确． 问题:9. 设矩阵，那么矩阵A的三个特征值是A.1，0，-2．B.1，1，-3．C.3，0，-2．D.2，0，-3．答案:D[解析] 由特征值的性质：∑λi=∑aii 现在∑aii=1+(-3)+1=-1，故可排除C． 显然，矩阵A中第2、第3两列成比例，易知行列式|A|=0，故λ=0必是A的特征值，因此可排除B． 对于A和D的选择，我们可以用特殊值法，由于 说明λ=1不是矩阵A的特征值．故可排除A 这一类题目可以直接计算A的特征多项式 另一个方法是验算．代入λ值，那个选项的λ满足|λE-A|=0． 但是应当会用：∑λi=∑aii，λi=|A|，及特殊值法来排除．会更方便．问题:10. 已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩阵是A.A-Ｅ．B.2A-Ｅ．C.A+2Ｅ．D.A-4Ｅ.答案:C[解析] 由A*的特征值是1，-1，2，4知|A*|=-8，又因|A*|=|A|n-1而知|A|3=-8，于是|A|=-2． 那么，矩阵A的特征值是：-2，2，-1，． 因此，A—E的特征值是-3，1，-2，，因为特征值非0，故矩阵A-E可逆． 类似地易见，矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆． 既要会由矩阵A的特征值求A*的特征值，也要会由A*的特征值求A的特征值． 若λ1是A的特征值，则是A*特征值。

即λ1λ1*=|A| 根据|A|=，可知A可逆的充分必要条件是λi≠0(i=1，2，…，n)问题:11. 已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是A.AT．B.A2．C.A-1．D.A-Ｅ．答案:A[解析] 由于|λE-AT|=|(λE-A)T=|λE-A| A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值． 由Aα=λα，α≠0可得到： A2α=λ2α，A-1α=，(A-E)α=(λ-1)α 说明A2，A-1，A-E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)． 问题:12. 矩阵的特征向量不能是A.(-1，1，0)T．B.(1，-2，3)T．C.(1，2，1)T．D.(3，-3，0)T．答案:C[解析] 如果(A)中(-1，1，0)T不是矩阵A的特征向量，则D中的(3，-3，0)T亦肯定不是矩阵A的特征向量，所以A、D均是矩阵A的特征向量． 由 所以B是矩阵A的特征向量．故应选C. 其实 本题用定义Aα=λα来判断． 问题:13. 矩阵有一个。