2.1 圆的方程【同步精讲】(原卷版).doc

高中数学精选资源第2章 圆与方程第01讲 圆的方程 目标导航 课程标准重难点1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．1.圆的标准方程与一般方程的转化2.圆成立的条件 知识精讲知识点一　圆的标准方程1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．【疑难解读】（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．（2）几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)知识点二　点与圆的位置关系1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r22.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．知识点三　圆的一般方程1.圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2.圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .【概念解读】（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－，－)D2＋E2－4F>0表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 能力拓展考法01 求圆的标准方程例 1求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．【跟踪训练】1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝252.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．【方法总结】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．考法02 点与圆的位置关系例 2如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外． 【跟踪训练】2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)A．－1＜a＜1　　　　　B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1【方法总结】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 考法03 圆的一般方程例 3若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径． 【跟踪训练】1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上． 【方法总结】判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．分层提分题组A 基础过关练 1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）A． B． C． D．3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）A． B．C． D．5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）A． B．C． D．6．圆的圆心坐标为______.7．圆的圆心到原点的距离为__________.8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__________. 题组B 能力提升练1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A． B．C． D．2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．4．若直线始终平分圆，则（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．65．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.6．已知点在圆外，则实数的取值范围为______． 7．已知圆C过点，圆心在直线上.（1）求圆C的方程.（2）判断点P(2，4)与圆C的关系 8．直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程. 题组C 培优拔尖练1．已知点集，当取遍任何实数时，所扫过的平面区域面积是（ ）A． B． C． D．2．已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ）A．7 B．8 C．9 D．103．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）A． B．C． D．4．已知直线与圆交于点A，B，则_________．5．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则当的面积最大时，的长为______.6．已知的三个顶点，，.（1）求外接圆的方程；（2）求内切圆的方程. 6 / 6。