收敛原理与数项级数.ppt

无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数 研究性质 数值计算数项级数 幂级数付氏级数第十章10－1 柯西收敛原理与数项级数的概念1.柯西收敛原理定理 1（柯西收敛原理）• 满足定理1条件的序列称为柯西序列.• 柯西收敛原理给出了由序列本身性态判断序列 是否收敛的一个重要方法.2.数项级数及其收敛性的概念形如的式子称为常数项无穷级数定义 对于给定级数 ，我们把级数的前 n 项和称为级数的部分和.则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作则称无穷级数发散 .例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.例2 判别下列级数的敛散性:解 (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧: 利用 “拆项相消” 求和(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧:利用 “拆项相消” 求和由级数可以得出级数的部分和，反之，也可以由 级数的部分和确定级数。

定理3 （级数收敛的必要条件）设收敛级数则必有证 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发散 .（后面将证明此调和级数发散 .）柯西收敛原理给出了级数收敛的充分必要条件定理4（级数收敛的柯西准则）证明考查 调和级数的收敛性.这个级数的通项趋于零，满足收敛的必要条件，因 而不能立即断定它收敛或发散 .根据柯西收敛原理，我们 应该考虑形如显然，不论n多大，只要取P足够大(即取项数足够多),上述形式的和就不趋于零 比 如，任意取定n后，取p=n,那么这就表明调和级数是发散的.的和当 时是否趋于零，这就证明了这个级数是收敛的.调和级数 是发散的,而 是收敛的.从直观上可以这样理解：两者的通项虽然都趋于零，但前者通项 趋于零的速度较慢，从而导致部分和不收敛；而后者通项趋于零的速度较快，保证了部分和收敛.一般说来，通项趋于零的速度达到一定程度，就能保证级数的收敛性.也收敛,且其和为 证明3.收敛级数的性质（1）设级数与都收敛, 并分别收敛于则级数证明(3) 设有两级数且有自然数 N，满足则两级数有相同的敛散性。

证明可由级数收敛的柯西准则得出并收敛于(2) 若级数收敛于 ，数 也收敛，则对于任意常数 ，级在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.（4）收敛级数任意加括号后形成的新级数仍然收 敛 于原来的和. 证明 设有收敛级数 S=u1+u2+u3+….+un+….由此知:若加括号后形成的新级数发散,则原级数也 发散.设任意加括号后所成的新级数为用σm表示这个级数的前m项(共有m个括号)之和,用Sn 表示相应于σm的原级数中共有n项之和,即例如级数 （1-1）+（1+1）+ … 收敛于零，但 级数 1-1 + 1-1 + … 却是发散的 根据性质4可得如下结论：如果 加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.注意:如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去 括号后原来的级数也收敛性质(4)表明:有限个项加法的结合律,对于收敛级数是成立的但应注意,对于发散级数不成立,例如 发散级数1-1+1-1++(-1)n-1+. 加上括号后形成的新级数(1-1)+(1-1)++(1-1)+ .是收敛于0的,由此可见,我们不能把有限个数的运算律随便搬到无穷级数中来。