2.1 圆的方程【同步精讲】(解析版) (1).doc

高中数学精选资源第2章 圆与方程 第01讲 圆的方程 目标导航 课程标准重难点1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．1.圆的标准方程与一般方程的转化2.圆成立的条件 知识精讲知识点一　圆的标准方程1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．【疑难解读】（1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．（2）几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)知识点二　点与圆的位置关系1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r22.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．（2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．知识点三　圆的一般方程1.圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2.圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为 .【概念解读】（1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．（2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－，－)D2＋E2－4F>0表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 能力拓展考法01 求圆的标准方程例 1求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．【解析】(法一：待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(法二：几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，∴由得即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.【跟踪训练】1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝252.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________．【答案】(1)D；(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25；(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，半径为|AB|＝＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意知解得∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二　由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.解方程组得∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝2.则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.【方法总结】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．考法02 点与圆的位置关系例 2如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝ ＝，故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM|＝ ＝；|CN|＝ ＝＞；|CQ|＝ ＝3＜.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 【跟踪训练】2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)A．－1＜a＜1　　　　　B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1【答案】A　【解析】由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.【方法总结】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 考法03 圆的一般方程例 3若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．【解析】　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.【跟踪训练】1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.2.已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．【证明】∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，即曲线C是一个圆．设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.【方法总结】判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． 分层提分题组A 基础过关练 1．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圆的一般式方程可得，即，求得，故选：A2．圆的圆心关于原点的对称点为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，关于原点对称的点为，故选：C.3．已知圆，则其圆心的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆，则其圆心的坐标为.故选：C4．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为圆的圆心在原点半径为3，所以圆的方程是.故选：C.5．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由已知条件可得，即，解得.故选：AD.6．圆的圆心坐标为______.【答案】【解析】，所以圆心为.故答案为：7．圆的圆心到原点的距离为__________.【答案】【解析】根据题意，圆的圆心为，则其圆心到原点为距离；故答案为：.8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是__．【答案】【解析】若方程表示圆，则有，即，解可得：或，当时，方程为，变形可得，表示圆心为，半径为5的圆，当时，方程为，即，变形可得，不能表示圆，故圆心的坐标为；故答案为：． 题组B 能力提升练1．以直线经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线方程为，即，所以直线过定点，所以圆方程为，即，故选：A.2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得．故选：A．3．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】设圆的方程为，由题意得，解得，所以，又因为点在圆上，所以，即.故选：C.4．若直线始终平分圆，则（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】A【解析】由得圆心，因为直线平分圆，所以直线必过圆心，则，则．故选：A.5．已知直线，，，则经过这三条直线交点的圆的方程为__________.【答案】【解析】已知直线，，，解方程组，求得和的交点为；解方程组，求得和的交点为；解方程组，求得和的交点为，。