第6讲子群的性质.ppt

第十章第十章 群与环群与环- - 子群的定义和性质1群(Group)n定义10.1（3）：设是一个代数系统，其中G是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果n(1).运算∘是封闭的n(2).运算∘是可结合的n(3).存在单位元en(4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1则称是一个群2例10.4(1-2)n(1) 整数加群n(2) 模n整数加群n 思考: 　　是不是群?2024/8/193例10.5nKlein 四元群G={e,a,b,c}*eabceeabcaaecbbbceaccbae2024/8/194群的相关术语（定义10.2）n平凡群 只含单位元的群 {e}n有限群与无限群n群G 的阶  G 的基数，通常有限群记为|G|n交换群或阿贝尔（Abel）群2024/8/1952024/8/196群的阶和元素的阶n群G 的阶  G 的基数，通常有限群记为|G|n元素a 的n 次幂n元素a 的阶 |a|：使得ak=e 成立的最小正整数k有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！！！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群62024/8/197群中元素的性质定理10.3 G为群，a∈G, 且|a|=r, 则n(1) ak =e ⇔ r | k 注：注： n(2) |a|=|a-1|n(3) 若|G| = n, 则r≤n. 证(1) 充分性. ak = arl =(ar)l=el = e必要性. k=rl+i, l∈Z, i∈{0,1,…,r-1}⇒ e = ak = arl+i = ai ⇒ i=0 ⇒ r | k(2) (a-1)r= (ar)-1=e-1=e ⇒ |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则t | r. 同理r | t.(3) 假设r>n, 令G´={e,a,a2, …, ar-1}, 则G´中元素两两不同，否则与|a|=r矛盾. 从而|G´|>n，与G´⊆G矛盾. |a|=r表示：元素a的阶是r72024/8/198例1 元素的阶1例：： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r)证： 令|at| = s,设设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q只要证s = q(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s | q(at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps\q | s （p, q互素）故:      q=s82024/8/199例2 元素的阶（2）n例: G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。

 n证： a2 = e a2 = a-1a  a = a-1，所以   阶大于2的元素必有a  a-1.又由于|a|=|a-1|所以G中阶大于2的元素一定成对出现9例2 元素的阶（2）（注）n例: G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个.n证：令G是一个有限群设G有元a而a的阶n>2.考察a-1我们有nan（ a-1）n=e e （ a-1 ）n =（ a-1 ）n=e n设正整数m2的假设矛盾这样我们就有一对不同的阶大于2的元a和a-1n设G还有元b，b ≠a，b≠a-1，并且b的阶大于2那么b-1的阶也大于2，并且b-1≠b我们也有b-1≠an否则 e= b-1b= a a-1= b-1 a-1  n消去b-1得b=a-1，与假设矛盾同样可证b-1≠a-1这样，除a和a-1外，又有一对不同的阶大于2的元b和b-1n由于G是有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里这种元的个数一定是偶数。

102024/8/19102024/8/1911例3 元素乘积的阶n例: G为群，a,b∈G且可交换,    |a|=m, |b|=n，若(m,n)=1, 则|ab| = mn.n证：设|ab| = r1)   (ab)mn=e ⇒r|mn2)   e = ((ab)r)m =(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr ⇒n|mr⇒n|r,          同理m|r,⇒mn|r112024/8/1912例3 元素乘积的阶（注）n例: G为群，a,b∈G且可交换,    |a|=m, |b|=n，若(m,n)=1, 则|ab| = mn.n证：设|ab| = r1)   (ab)mn= (a)mn (b)mn= ( (a)m)n((b)n)m=ee =e⇒r|mn2)   e = ((ab)r)m =(ab)mr=(am)r(bmr)=bmr ⇒n|mr⇒n|r,=e          同理m|r,122024/8/1913例4 元素乘积的阶（2）n例: G为群，a,b∈G是有限阶元，则：       (1)|b-1ab| = |a|      (2) |ab| = |ba| n证： (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ，则1)   (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab) = b-1arb= b-1eb=e,所以   t|r 同理r|t2） ab=b-1 (bab )132024/8/1914例4 元素乘积的阶（2）（注）n例: G为群，a,b∈G是有限阶元，则：       (1)|b-1ab| = |a|      (2) |ab| = |ba| n证： (1)|设|a| = r, |b-1ab|=t ，则1)   (b-1ab)r= (b-1ab) (b-1ab) …… (b-1ab) = b-1arb= b-1eb=e       所以   t|r 同理  e=(b-1ab)t= b-1atb           b-1b=at                        at=e 所以   r|t2） ab=b-1 (bab ) )= b-1(ba)b直接去括号就可得此时，方法同理1）142024/8/1915子群n定义10.5：设是一个群，HG   非空，若也构成群，则称   为 的一个子群。

 记作HG.n如果子群 H 是 G 的真子集，则称为   真子群，记作 H是一个群，是的一个   子群，那么中的单位元 e 必定也是    中的单位元x 在S中的逆元也是    在G 中的逆元.nG 的子群也是代数系统的子代数162024/8/1917子群举例n写出下列群的所有子群nKlein 四元群n172024/8/1918子群的判定定理1n定理10.4：G是群，H是G的非空子集，    则 HG  (1)a,bH, abH, (2) aH, a-1H.n证：必要性显然，证充分性n 1.封闭性 条件一n 2.可结合性 显然n 3.有单位元  n 4.H 中每一元都有逆元 条件二n∴H 为 G的子群.因为H非空，必存在aH,由条件2,必有a-1H，再根据条件1有aa-1  H ，即eH 182024/8/1919子群的判定定理1（注） n定理10.4：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：n1) n2)n证明：若是1）2)成立，H作成一个群。

nⅠ、由于1），H是闭的;nⅡ 、结合律在G中成立，在H中自然成立；nⅣ 、因为H至少有一个元a，由2），H也有元a-¹，所以有1），na a-¹=e HnⅤ 、由2),对于H的任意元a来说，H有元a-¹，使得na a-¹=e 192024/8/1920子群的判定定理1（注） n定理10.4：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：n1) n2)n反过来看，假如H是一个子群，1）显然成立，我们证明，这时2)也一定成立H既是一个群，H一定有一个单位元e’我们在H里任意取一个元a，就得到e’a=a，但e’和a就属于G，所以e’是方程ya=a在G里的一个接但这个方程在G里只有一个解，就是G的单位元e所以ne’ =e Hn这样，因为H是一个群，方程ya=e在H中有解a’，但a’也是这个方程在G里的解，而这个方程在G里只有一个解，就是a-¹所以na’= a-¹=e202024/8/1921子群的判定定理2n定理10.5：设G为群，HG非空，若对H中的    任意元素a,b都有ab-1∈H，则H为G的子群.n证：1.G中单位元e也为H中的单位元aHG, 则aa-1 =eH，且ae=ea=a，∴e也为H中么元n 2.H 中每一元都有逆元aH，∵eH，由题设得，ea-1H，即a-1Hn 3.H 对乘法封闭a,bH，由上可知b-1H,∴有a(b-1) -1=abHn 4.可结合性显然，n∴H为G的子群.212024/8/1922有限子群的判定定理n定理10.6：G为群，H是G的非空子集，如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当 a, b∈H,有ab∈Hn证：必然性是显然的.为证明充分性，只需证明  a∈H 有 a-1∈H.任取 a∈H,若a=e,则a-1=e-1=e ∈H.若a ≠ e,令S={a,a2, …},则 S H.由于H是有穷集,必有a i=a j(i1,由此得a i-j-1a=e 和 aa i-j-1=e ,从而证明a-1=a i-j-1222024/8/1923子群证明举例1n设H,KG, 则   HKG§证：单位元e HK,所以HK非空!    任给 a,bHK, 则aH, aK, bH,         bK.因为H,KG, 必有ab-1H, ab-1K,     从而ab-1HK, 根据判定条件2，命题     得证.232024/8/1924子群证明举例2n设H,KG, 则HKGHKKHn 证 :只证必要性,反证法假若h(hH,hK), k(kK,kH)，则hkH，否则k=h-1(hk)H,矛盾. 同理hkK, 从而hkHK。

但是h,kHK, 与HKG矛盾 242024/8/1925生成的子群na生成的子群 = { ak | k∈Z } , a∈Gn注注:e=a0,a的逆元为a-1nB生成的子群 = ∩{ H | H≤G, B⊆H }, B⊆G252024/8/1926生成的子群举例n整数加群, n2生成的子群<2> = { 2k | k∈Z }n模6加群, n2生成的子群<2> = { 0，，2，，4 } =<4> n3生成的子群<3> = { 0,3 }n5生成的子群<5> = Z6 =<1> 26生成的子群举例2nn2生成的子群<2> = { 0,2,4,6,8,10 }n3生成的子群<3> = { 0,3,6,9 }nKlein 四元群n={e},={a,e}, ={b,e},={c,e}27生成的子群举例3nnB={2,3}生成的子群 = Z12nKlein 四元群G={e,a,b,c}n= G28子群格n设G是一个群，S={H |HG}是G的    所有子群的集合，在S上定义关系    R如下：nA R B当且仅当A是 B的子群    则构成偏序集，称为群G的    子群格。