统计第五章变异指标.ppt

第五章 离中趋势测量法主要内容：（1）变异指标； （2）全距； （ 3）平均差、标准差和标准分； （4）绝对离势和 相对离势；（5）偏度离中趋势v所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和 离散程度v例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如 下：A组：60 ，60，60，60，60B组：58，59，60，61，62C组：40，50，60，70，80D组：80，80，80，80，80数据显示，平均数相同，离势可能不同 ；平均数不同，离势可能相同变异指标v离中趋势用变异度指标来衡量.v变异度指标又称标志变动度指标，是综合反映总体 各单位标志值及其分布的差异程度的指标v变异指标与平均指标相对应，从另一个侧面反映了 总体的特征 变异指标的作用v其主要作用是：v (1)说明平均数的代表性在相同平均数 的情况下离势小，平均数的代表性高；离 势大，平均数代表性低v (2)反映经济活动过程的均衡性、节奏性 或稳定性 变异指标如按数量关系来分有以下两类；v凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;v凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等主要有异众比率、标准差系数、平均差 系数和一些常用的偏态系数。

第一节 全距 1.全距(Range) 对于未分组资料或者单项式分组资料R =Xmax– Xmin[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数 字的全距[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有 R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22全距（全距（R R）：最大值和最小值之差也叫）：最大值和最小值之差也叫极差极差 全距越大，表示变动越大全距越大，表示变动越大运用上 述方法计 算左边数 列的全距对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：（1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值（2）用组值最大组的上限减去最小组的下限（3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限； 或最大组的上限减去最小组的组中值(常用的办法)优点：缺点：计算简单、计算简单、 直观1 1）受极端值影响大；）受极端值影响大； （（2 2）） 没有量度中间各个单位间没有量度中间各个单位间 的差异性，数据利用率低，信息丧的差异性，数据利用率低，信息丧 失严重；失严重；（（3 3）受抽样变动影响大，大样）受抽样变动影响大，大样 本全距比小样本全距大。

因为大样本全距比小样本全距大因为大样 本更可能包含最极端的值本更可能包含最极端的值. .第二节 平均差(Mean absolute deviation)v要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各 变量值相对于平均数的差异情况，一个很自 然的想法就是计算各变量值与算术平均数的 离差v平均差是各变量值与算术平均数（中位数） 的离差绝对值的算术平均数.v由于各变量值与其算术平均数离差的代数和 的值为0，所以采取算绝对值的办法；v能够全面反应一组数据的离散程度；v数学性质较差，实际运用的比较少；计算方法1.对于未分组资料A · D=2.对于分组资料 A · D=例1v1、 试分别以算术平均数为基准，v求85，69，69，74，87，91，74这些数字 的平均差例2：根据下表求平均差某车间车间 50名工人日加工零件标标准差计计算表按零件数分组组组组中值值(Xi)频频数(f)| Xi- X ||Xi-X |f105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.53 5 8 14 10 6 415.7 10.7 5.7 0.7 4.3 9.3 14.347.1 53.5 45.6 9.8 43.0 55.8 57.2合计计—50—312练习：试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差 。

计算左 边数列的 平均差平均差的性质v（1）虽然是变异指标，但是从算法上仍属于算术平 均数；v （2）受抽样变动影响小、受极端值影响大、对于 不确定组距要经过特殊处理；v （3）平均差不能用于其它的代数运算，理论意义 不能给予很好的说明，标准差、方差的应用更好；v （4）使用的范围比较小；第三节 标准差（standard deviation)各变量值对其算术平均数的离各变量值对其算术平均数的离 差平方的算术平均数的平方根，又差平方的算术平均数的平方根，又 称称均方差,用用S S表示 即克服平均差带有绝对值的缺即克服平均差带有绝对值的缺 点，又保留其综合平均的优点点，又保留其综合平均的优点 最常用的测度值，反应了各变量值最常用的测度值，反应了各变量值 和均值的平均差异和均值的平均差异计算方法v对于未分组资料求72、81、86、69、57这些数字的标准差2. 对于分组资 料计算 左边数 列的标 准差[例] 调查大一男生60人的身高情况如下表所示， 求 他们身高的标准差[解] 因为是分组资料，计算标准差运用加权式， 并 参见下表练习v假设一个班的成绩分布如下,求标准差 分数人数 60分以下260-70570-801080-902090-1003v 标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异 程度的最佳测度。

v （1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任 何数值为基准计算的标准差要小为什么?)v“最小二乘方”性质——各变量值对算术平均数的离差的平 方和，必定小于他们对任何其他数偏差的平方和v （2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受 抽样变动影响小但在受极端值影响以及处理不确定组距 方面，缺点同算术平均数v（3）标准差同平均差一样，虽然都是变异指标，但是就 其计算的数学方法来看，仍然是属于算术平均数；v（4）受抽样变动的影响小，受极端值影响，处理开放组 距时要经过特殊处理3. 3. 标准差的性质标准差的性质方差v值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差 是比标准差更有理论价值的概念v所谓方差，即标准差的平方，它直接写成 v 也常被称为变异数 标准分(standard score)以离差和标准差的比值来测定变量 与 的 相对位置使原来不能直接比较的离差标准化，可 以相互比较，加、减、平均1 1））Z Z是和是和X X一一对应的变量值；一一对应的变量值；（（2 2））Z Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响分数没有单位，是一个不受原资料单位影响 的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；（（3 3））Z Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标分数实际表达了变量值距总体均值有几个标 准差。

准差Z分数也有标准正态变量之称按Z值大小编制 出的正态分布表，其用途十分广泛 Z分数的性质：Z Z分数之和等于分数之和等于0 0Z Z分数的算术平均数等于分数的算术平均数等于0 0Z Z分数的标准差等于分数的标准差等于1 1，方差也等于，方差也等于1 1三 定则及其应用v 社会经济统计是研究大量社会经济现象数量方 面的在大量观察下，许多现象总体内的次数分 布呈正态分布，即以平均数为中心，中间大，两 头小的分布状态数理统计证明，在正态分布情 况下： v 可包括总体单位数的 68.27% v 可包括总体单位数的 95.45% v 可包括总体单位数的 99.73% v 这就是“三 定则”当计算出平均数和标准差 之后，便可利用三 定则来推断次数分配的状况 例子:v某车间 100 个工人日产量资料，已经计算出平均日 产量 =42.5 件，标准差 =8.87 件,试推断日产量分 布情况 .v有 68.27% 工人日产量在 33.63 到 51.37 之间；有 95.45% 工人的日产量在 24.76 到 60.24 之间；有 99.73% 工人的日产量在 15.89 到 69.11 之间。

第四节 相对离势上述各种反映离中趋势的变异指标，都具有和原 资料相同的计算单位，称绝对离势但欲比较具有不 同单位的资料的参差程度，或比较单位虽相同而均值 不相同的资料的参差程度，离势的绝对指标则很可能 导致某些错误结论所以，我们还得了解和学习相对 离势 相对离势v凡是用相对数来表达的变异指标，统称为相对离势 ，主要有异众比率、标准差系数、平均差系数等；Ø比较具有不同单位的资料的参差程度；Ø比较单位虽然相同而均值不相同的资料的参差程度 ；Ø要想实现计量单位不同或者平均水平不一的对象之 间的直接比较：Ø 绝对离势/平均指标＝相对离势；1. 变异系数v绝对离势统计量与其算术平均数的比率，用V 表示变异系数是最具有代表性的相对离势 v全距系数 v平均差系数v标准差系数v全距系数 全距系数是众数据的全 距与其算术平均数之比，其计 算公式是v平均差系数平均差系数是众数据的平 均差与其算术平均数之比，其 计算公式是v标准差系数 标准差系数是众数据的标 准差与其算术平均数之比，其 计算公式是2、异众比率 (概念要点)v1. 离散程度的测度值之一v2. 非众数组的频数占总频数的比率v3. 计算公式为4. 4. 用于衡量众数的代表性用于衡量众数的代表性5. 5.不仅用于定距变量不仅用于定距变量, ,还可以用于定类与定序变量还可以用于定类与定序变量. .异众比率 (例题)某城市居民关注广告类类型的频频数分布 广告类类型人数(人)频频率(%)商品广告服务务广告金融广告房地产产广告招生招聘广告其他广告112 51 9 16 10 256.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0合计计200100根据下表中的数据，计算异众比率根据下表中的数据，计算异众比率解：解：在所调查的在所调查的200200人当中，关注非人当中，关注非 商品广告的人数占商品广告的人数占44%44%，异众比，异众比 率还是比较大。

因此，用率还是比较大因此，用“ “商品广商品广 告告” ”来反映城市居民对广告关注的来反映城市居民对广告关注的 一般趋势，其代表性不是很好一般趋势，其代表性不是很好V Vr r = = 200 - 112200 - 112 200200= 1 -= 1 -112112200200= 0.44 = 44%= 0.44 = 44%例1v 某项调查发现，现今三口之家的家庭最多 （32%），求异众比率v某开发商根据这一报导，将房屋的户型大部 分都设计为适合三口之家居住的样式和面积 ，你认为如何呢？例2v设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的 两个抽样总体成人组平均体重为65千克， 全距为10千克；婴儿组平均体重为4千克，全 距为2.5千克v能否认为成人组体重的离势比婴儿组体重的 离势大？例3v对一个群体测量身高和体重，平均身高为 170.2厘米，身高标准差为5.30厘米；平均体 重为70千克，体重标准差为4.77千克v比较身高和体重的离散程度第五节 偏态系数变异指标——离中趋势 平均指标——集中趋势 偏度——偏斜情况 （1） 偏度的概念v反映总体次数分布偏斜程度的指标 （2）偏度的种类： 右偏分布（正偏）左偏分布（负偏） （3）偏度的测算：算术平均数与众数比较法、动差法 vA. 偏度＝算术平均数－众数若偏度>0，则右偏；若偏度乙组 标准差 ，由此可推断：（ ）vA 乙组平均数的代表性好于甲组；B 乙组的标志均 衡性比甲组好；vC 甲组平均数的代表性好于乙组；D 甲组的标志均 衡性比乙组好；vE 甲组的标志变动度比乙组大。

v15．比较不同企业的。