比根号2更“无理”的数.pdf

比根号 2 更“无理”的数大家中学时就学过，根号2 是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无规律的无限不循环小数早在古希腊时代， 人们就发现了这种奇怪的数，这推翻了古希腊数学中的基本假设，直接导致了第一次数学危机事实上，根号2 只是最普通的无理数在无理数大家庭中，还有很多比根号2 更诡异的数注：从历史角度来看，把“ 无理数 ” 理解成 “ 无理的数 ” 其实是一种错误的做法中国最初对irrational number 的翻译是不对的， irrational 这个单词本应该取“ 不可比的 ” 之义）代数数与超越数根号 2 虽然是无理数，不过也不是那么没规律了它是方程x 2 - 2 = 0 的其中一个解如果某个数能成为一个整系数多项式方程（a n · x n+ ⋯ + a 1 · x + a 0 = 0）的解，我们就把它叫做 “ 代数数 ” （algebraic number ）那些用根号表示出来的无理数，全都是代数数不是代数数的实数统统被称为“ 超越数 ” （transcendental number ），它不满足任何一个整系数多项式方程超越数无疑是更“ 怪” 的数，是否存在这样的数在数学史上早有争论。

1844 年，法国数学家柳维尔（ Joseph Liouville ）构造了第一个超越数 ——柳维尔数（ Liouville number ）这个数是0.110001000000000000000001 ⋯ ，其中小数点后面第1，2，6，24，120，... 位是 1，其余位都是0柳维尔证明了这个数是一个超越数，它不满足任何整系数多项式方程1873 年，法国数学家夏尔 · 埃尔米特（ Charles Hermite ）证明了自然底数e 是一个超越数 1882 年，德国数学家林德曼（ Ferdinand von Lindemann）证明了圆周率π 是一个超越数但是，人们对超越数的了解还是太少 至今数学家们仍然不知道， π + e 、π - e、π·e、π/e 是否是超越数虽然如此，大家还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程可计算数与不可计算数圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的，但毕竟是有办法算出来的 如果你想知道 π 的小数点后第一亿位是多少，我总能在有限的时间里算出答案来1975 年，计算机科学家格里高里 · 蔡廷（Gregory Chaitin ）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中， 随机输入一段代码， 这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止 （不会无限运行下去） 的概率是多大。

他把这个概率值命名为了“ 蔡廷常数 ” （Chaitin's constant ）这听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputable number ）也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的可定义数与不可定义数尽管蔡廷常数算不出来， 不过我们却知道蔡廷常数是什么 它有一个明确的定义但是，并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的原因很简单， 因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的 （虽然有无穷多）， 而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数这种数就叫做不可定义数（undefinable number ）自然数也好，有理数也好，根号2 也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，它们都有明确的定义， 都属于可定义数的范畴 事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的， 因为它们都已经被我们描述出来了但是，由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数那么，谁发现了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。

因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体例子来好在，虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。