抛物线测试题(含答案).docx

抛物线测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 抛物线y = 2 x2的焦点坐标是1.()2.3.4.A. (1,0) &(上,0) C. (0<；) D. (0,1)4 8 4已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,-3)到焦点的距离为5 线方程为A. x 2 = 8 y B. x 2 = 4 y C. x 2 = —4 y抛物线y2 = 12x截直线y = 2x +1所得弦长等于A.击 B. 2岳 C.仝2 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点( — 2,3)9 4B. y2 = —— x 或 x2 = y2 35.7.8.9.B. 2、'15D. 15则抛物)A. x2 = —— y 或 y2 = — x 2 3[x = 12 点P(1,0)到曲线〈 c〔y = 2tA.0 B.则它的方程是C. x2 = IyD・y 2=-2.(其中参数i e R )上的点的最短距离为抛物线 y2 = 2px(p > 0)上有 A(x , y ), B(x , y ), C(x , y ) 1 1 2 2 3 3|AF|,|BF|,|CF|成等差数列，则A. x ,x ,x成等差数列 123C. y , y , y 成等差数列 123D.点,2F是它的焦点(B. x ,x ,x成等差数列 1 3 2D. y , y , y成等差数列1 3 2若点A的坐标为(3, 2)，F为抛物线y2 = 2x的焦点，点P是抛物线上的一动点|PA| + |PB|取得最小值时点P的坐标是D・(-1)已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点弦AB的两端点为A(x , y),B(x , y.),y1y2，y的值一定等于气 x2A.4 B.—4 C.p2过抛物线y = ax2 (a > 0)的焦点F作一直线交抛物线于P 1 1分别是p, q，则一+—= p qB.A. (0, 0)B. (1, 1)C.(2,2)则关系式()D.Q两点—p若线段PF与FQ的长()A. 2a10.若AB为抛物线y2=2px 距离12 a(p>0)的动弦C. 4aD.且|AB|=a (a>2p)4_a则AB的中点M到y轴的最近 ()aA.-2a - pD.——-2C.$、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)B.11、抛物线y2 = x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 12、直线X - y -1 = 0截抛物线y2 = 8x，所截得的弦中点的坐标是13、 抛物线y2 = 2px （p > 0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5,则此抛物线焦点与准线的距离为 一一一14、 设"为抛物线y2 = 4x的焦点，& B，C为该抛物线上三点，若FA + FB + FC = 0， 则阿+lFBl+lF^l=15、 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2, 1）.其中适合抛物线y2=10x的条件是（要求填写合适条件的序号）.三、解答题16. (12 分)已知点 A (2, 8), B (x「y1), C (x2, y2)在抛物线 y2 = 2px 上, AABC 的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1） 写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;（2） 求线段BC中点M的坐标；（3） 求BC所在直线的方程.17. （12分）已知抛物线y = ax2 -1上恒有关于直线x + y = 0对称的相异两点，求a的取 值范围.18. (12分)抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,—1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、 BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.19、(12分)已知抛物线C的方程C : >2 = 2PX(P >。

)过点a (1, -2).(I) 求抛物线C的方程，并求其准线方程；(II) 是否存在平行于OA ( 0为坐标原点)的直线1，使得直线1与抛物线C有公共点，◎且直线0A与1的距离等于5 ?若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由.20. (13分)已知抛物线y2=4ax(0〈a〈1 =的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心，I AF I为半径 在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N,设P为线段MN的中点.(1) 求 I MFl + l NF | 的值；(2) 是否存在这样的a值，使I MF|、|PF|、|NF I成等差数列?如存在，求出a的 值，若不存在，说明理由.21. (14分)如图，直线y=1 x与抛物线尸=1 x2—4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线 2 8与直线y=—5交于Q点.(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求AOPQ面积的最大值.A参考答案". （｝± 子、解答题（本大题共6题，共76分）（12分）［解析］：（1）由点A （2, 8）在抛物线y2 = 2 px上，有82 = 2 p - 2，解得p=16.所以抛物线方程为y2 = 32x，焦点F的坐标为（8, 0）.（2） 如图，由于F （8定比分点，且4乙=2FM2124 = 8,8^ = 0，1 + 2 1 + 212.13.15. (2)，(5) •-15.0）是^ABC的重心，M是BC的中点 设点M的坐标为（七, *），则解得 x0 = 11, * =-4，所以F是线段AM的16.所以点M的坐标为（11，—4）.（3） 由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：y + 4 = k（x - 11）（k。

0）.由（y + 4 = k（x -11）,消 x 得 ky 2 - 32y - 32（11k + 4） = 0，［y2= 32x所以y + y =兰，由（2）的结论得y1 + y 2 =-4，解得k = -4.'1 ’2 k 2因此BC所在直线的方程为：4x + y -40 = 0.（12 分）［解析］:设在抛物线y=ax2—1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P（x,y）,Q（—y, —x），一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空之（本大题共4小题，每小题6分，共24分）\y = ax2 -1 ①［-x = ay2 -1 ②，由①—②得 x+y=a(x+y)(x — y),\，P、Q 为相异两点，Ax+y^0，又 a/0,x — y =—,即y = x —，代入②得8-2x2—ax—a+1=0，其判别式△=&—4a2(1—a)>0, a a解得a >-.417. (12分)［解析］:设R(x,y),・「F(0,1),..・平行四边形FARB的中心为C(x,2+1)，L:y=kx2 2—1,代入抛物线方程得 x2 — 4kx+4=0,设 A(x1，y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k, 乂片=4，且 △=16k2—16>0，即|k|>1 ①， 1 1 2 2 1 2 1 2...y+ y =乙*2 =(气+%)2一2气x =4k2 -2 ,..・C为AB的中点.1 2 4 4'-=% + x2 = 2k：\ 2 2I ^1 = y 2 + y 2 = 2k 2 -1"2 2，n ，消去k得x2=4(y+3),由①得，—> 4，故动点R的轨迹方程为- y = 4k 2 - 3X2=4(y+3)( - > 4 ).18..■ _.一，一一 、一 f.y 2 = 4a-19. (14 分)［解析］:(1)F(a,0),设M(- , y),N(- , y ),P(- , y ),由1 1 2 2 0 0］ (--a -4)2 + y2 = 16n -2 + 2(a - 4)- + (a 2 + 8a) = 0， △> 0,. % + x2 = 2(4 — a)， MF + \nF =(气 + a) + (x2 + a) = 8 (2)假设存在 a 值，使的\MF I \PF |,|NF| 成等差数列，即 2|pF = |MF| + |nf| n |PF| = 4 x 0 = 4 - a(x 一 a)2 + y 2 = 16 n (4 一 2a)2 + y 2 = 16 n y 2 = 16a — 4a20 0 0 00 ” + y、 y2 + y 2 + 2 y yy 2 = ( )2 = —1 2 1_2-=竺 +4ax2 + 2v4aV'4ax2 = a(- + x ) + 2a.\L = 2a(4- a) + 2a*K n4 12*122a(4 - a) + 2a M2 + 8a = 16a - 4a 2 n a = 1fA> 0x + x > 0矛盾.{ 1 2 n 0 < a < 1xx >01 2y 2 > 0i 0..・假设不成立.即不存在a值，使的Mf I, Pf I, Inf I成等差数列.或解：|PF| = 4 x = 4 - a O x + a = 4 知点P在抛物线上.矛盾.1V = — X _f 2 - = -4 - = 820. （14分）【解】（1）解方程组2 得T1 或J 2y = 1 x 2 - 4 y1 =-2 ly 2 = 48即"一4,—2璀（8,4）,从而AB的中点为畛D.由、==2，直线AB的垂直平分线方程y—1二;(x—2). 令 y= — 5,得 x=5, /.Q(5,—5).⑵ 直线OQ的方程为x+y=o,设P(x, 1 X2—4).V点P到直线OQ的距离8d=•'.2六X2 + 8x-32卜 OQ = 5'2，「・Saopq= 2 OQd =部2 + 8x一32〔•.•P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，.・・一4Wx<4 3 —4或4・再— 4