类型1 数字与图形规律探索（精选20题） 2020年中考数学 三轮冲刺 难点题型突破.doc

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人培根数字与图形规律探索1．若122﹣232＝﹣127；（122﹣232）+（342﹣452）＝﹣2311；（122﹣232）+（342﹣452）+（562﹣672）＝﹣3415；则（122﹣232）+（342﹣452）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]＝　 　．2．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014＝69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　 　．3．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　 　．4．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M＝1+3+32+33+…+3100，则3M＝3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M＝3101﹣1，所以M＝，即1+3+32+33+…+3100＝，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　 　．5．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　 　．6．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案5是由　 　个组成的，依此，第n个图案是由　 　个组成的．7．观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是　 　（用含n的式子表示）8．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160，∠A2C2A3＝80，∠A3C3A4＝40，∠A4C4A5＝20，…．，根据上述规律请你写出∠An+1An∁n＝　 　．（用含n的代数式表示）9．如图，∠BOC＝9，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　 　．10．如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成　 　个互不重叠的小三角形．11．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． D．12．在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（　　）A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，113．在数学兴趣小组活动中，小明为了求…+的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则…+的值为　 　（结果用n表示）．14．图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有　 　个苹果、第十行有　 　个．（可用乘方形式表示）15．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+＝　 　．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，（a+b）4展开式共有五项，系数分别为　 　．17．观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．＝　 　．18．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝　 　．19．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．20．阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk＝a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A＝（S1+S2+…+Sn）n称它们的“凯森和”，如a1＝2，a2＝3，a3＝3，则s1＝2，s2＝5，s3＝8，凯森和A＝（2+5+8）3＝5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和为　 　．试题解析1．若122﹣232＝﹣127；（122﹣232）+（342﹣452）＝﹣2311；（122﹣232）+（342﹣452）+（562﹣672）＝﹣3415；则（122﹣232）+（342﹣452）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]＝　﹣n（n+1）（4n+3）　．解：∵122﹣232＝﹣127＝﹣12（41+3）；（122﹣232）+（342﹣452）＝﹣2311＝﹣23（42+3）；（122﹣232）+（342﹣452）+（562﹣672）＝﹣3415═﹣34（43+3）；…（122﹣232）+（342﹣452）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]＝﹣n（n+1）（4n+3），故答案为：﹣n（n+1）（4n+3）．2．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014＝69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　165　．解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2＝a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014＝a12+a22+…+a20142+269+2014＝a12+a22+…+a20142+2152，设有x个1，y个﹣1，z个0∴，化简得x﹣y＝69，x+y＝1849，解得x＝959，y＝890，z＝165∴有959个1，890个﹣1，165个0，故答案为：165．3．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　．解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b64．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M＝1+3+32+33+…+3100，则3M＝3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M＝3101﹣1，所以M＝，即1+3+32+33+…+3100＝，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　　．解：设M＝1+5+52+53+…+52015，则5M＝5+52+53+54…+52016，两式相减得：4M＝52016﹣1，则M＝．故答案为．5．按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　365　．解：第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共32＝9，其中黑色的有5块，第3个图案有黑色与白色地砖共52＝25，其中黑色的有13块，…第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，当n＝14时，黑色地砖的块数有[（214﹣1）2+1]＝730＝365．故答案为：365．6．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案5是由　16　个组成的，依此，第n个图案是由　3n+1　个组成的．解：由图可得，第1个图案基础图形的个数为4，第2个图案基础图形的个数为7，7＝4+3，第3个图案基础图形的个数为10，10＝4+32，…，第5个图案基础图形的个数为4+3（5﹣1）＝16，第n个图案基础图形的个数为4+3（n﹣1）＝3n+1．故答案为：16，3n+1．7．观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是　n2+n　（用含n的式子表示）解：第一个图中钢管数为1+2＝3；第二个图中钢管数为2+3+4＝9；第三个图中钢管数为3+4+5+6＝18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8＝30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n＝+＝n2+n，故答案为：n2+n．8．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160，∠A2C2A3＝80，∠A3C3A4＝40，∠A4C4A5＝20，…．，根据上述规律请你写出∠An+1An∁n＝　（90﹣）　．（用含n的代数式表示）解：由张角度数变化可知顶角∠An+1∁nAn＝，则∠An+1An∁n＝（180﹣）2＝90﹣．故答案为：（90﹣）．9．如图，∠BOC＝9，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝　9　．解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9，∴∠A1AB＝18，∠A2A1C＝27，∠A3A2B＝36的度数，∠A4A3C＝45，…，∴9n＜90，解得n＜10．由于n为整数，故n＝9．故答案为：9．10．如图，△ABC的三个顶点和。