同步人教A版数学2学案推理与证明章末综合提升含答案.doc

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]合情推理【例1】　(1)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，……，据此规律，第n个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体P­ABC中，二面角B­PA­C的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是________．(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　(2)＝　[(1)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.(2)画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为＝.证明如下：由于平面PAD是二面角B­PA­C的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以＝.　①又因为＝＝.②由①②知＝成立．]1．归纳推理的特点及一般步骤　2．类比推理的特点及一般步骤[跟进训练]1．(1)观察如图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律，推出Sn与n的关系式为________．(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，________，________， 成等比数列．(1)Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)　(2) 　 　[(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ， 成等比数列．]综合法与分析法【例2】　若a，b，c是△ABC的三边长，m＞0，求证：＋＞.思路探究：根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明]　要证明＋＞，只需证明＋－＞0即可．∵＋－＝，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴＋＞.1. (改变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：＞.[证明]　要证 ＞，只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c，而a＋b>c显然成立，所以＞.2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，即证＋＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．反证法【例3】　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．[跟进训练]2．若x，y，z∈(0,2)，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.[证明]　假设x(2－y)>1，且y(2－z)>1，且z(2－x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1，①由于00，f (x)＝，令a1＝1，an＋1＝f (an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解]　(1)∵a1＝1，∴a2＝f (a1)＝f (1)＝；a3＝f (a2)＝；a4＝f (a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f (ak)＝＝＝＝.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.1．数学归纳法的两点关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．2．与“归纳—猜想—证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．[跟进训练]3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)[证明]　①当n＝2时，＋＝＞.②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，即＋＋…＋＞，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＝＋＋…＋ ＋＋＋－＝＋＋－＞＋＋－＝＋－＝＋＞. 这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.转化与化归思想的应用【例5】　已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β.求证：＝.[证明]　要证＝成立，即证＝，即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.因为sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2 β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，即4sin2α－2sin2β＝1.故原结论正确．转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题．本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想．[跟进训练]4．已知函数f (x)在R上是增函数，a，b∈R.(1)求证：如果a＋b≥0，那么f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．[解]　(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.∵f (x)在R上是增函数，∴f (a)≥f (－b)，f (b)≥f (－a)，∴f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f (a)＜f (－b)．同理可得f (b)＜f (－a)．∴f (a)＋f (b)＜f (－a)＋f (－b)，这与f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)矛盾，故假设不成立，∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．10。