微分中值定理教案.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.------------------------------------------author------------------------------------------date微分中值定理教案微分中值定理教案微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入3、利用导数证明不等式的技巧教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导 ③则在内至少存在一点c，使得二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导则在开区间内至少存在一点c，使 注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件b、若加上，则即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例c、形象认识（几何意义），易知为过A、B两点的割线的斜率，为曲线上过c点的切线的斜率；若即是说割线的斜率等于切线的斜率。

几何意义：若在闭区间上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点，使得过点的切线平行于割线AB它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦2.2 拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数，使他满足罗尔定理的条件注意罗尔定理的结果是，对应拉格朗日定理的结果是，即，实际上就是，即是说，两边积分得，注意要满足罗尔定理的三个条件，故取证明：作辅助函数，易知在闭区间连续，在开区间可导，又，根据罗尔定理，在内至少存在一点c，使得，而，于是，即，命题得证注：a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数中的其实就是过两点A、B两点的割线方程b、拉格朗日中值定理的中值点c是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c的存在性，而非”定量“地指明c的具体数值。

c、拉格朗日中值定理的其他表达形式：（1） （2） 2.3 拉格朗日定理的应用例1: 验证函数-在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的的值.解:因 ，在上连续，在内可导，满足定理的条件而由得， 注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：（1）该函数是否满足定理的两个条件2）是否存在一点∈（a,b）,使成立.例2 分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理证明：设 易知在上满足拉格朗日中值定理的条件 故， 又，，有上式得： 又， 则， ，即 ，命题得证小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件便得到，再根据放大或缩小，证出不等式推论1　如果在区间内的导数恒等于零，那么在内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间内任意取两点，（设），则在上满足拉格朗日中值定理条件.故有　，由于，所以，即.由于，是在内任意取的两点，因此在区间内函数值总是相等的，这表明在区间内恒为一个常数.推论2　若有，则有.（证明作为课外作业）证：，，根据推论1知，即.三、小结 1、拉格朗日定理的内容 2、拉格朗日定理的几何意义 3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法 4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念 定义：设函数在区间上有定义。

若，且存在的某邻域，有 （）则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）2、费马定理 设函数在区间上有定义若函数在点可导，且是函数的极值点，则 3、罗尔定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导 ③则在内至少存在一点c，使得4、拉格朗日定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导则在开区间内至少存在一点c，使 5、柯西中值定理若函数和满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导，且，有，则在内至少存在一点c，使得 --------------------------------------------------。