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16隐函数存在定理函数相关CH 16 隐函数存在定理、函数相关 1． 隐函数的求导法 隐函数的存在定理设F(x,y)满足下面条件： 1） 在区域D:|x-x0|£a，|y-y0|£b上Fx,Fy连续； 2） F(x0,y0)=0； 3） Fy(x0,y0)¹0 则 1）在点(x0,y0)的某一邻域O(x0,h)内，F(x,y)=0唯一确定一个函数y=f(x)，且y0=f(x0) 2）y=f(x)在O(x0,h)内连续； 3）y=f(x)在O(x0,h)内具有连续导数，且y'=-Fx(x,y)对于方程组的情Fy(x,y)形也有类似的定理 隐函数的求导法：通常有三种方法 1） 把方程看作恒等式，两边对自变量求导，然后解出所求的导数或偏导数 2） 公式法：设z=f(x,y)，是由方程F(x,y,z)所确定的隐函数，且Fz¹0，FyFx¶z¶z=-则， =-¶xFz¶yFz3）微分法：利用一阶全微分形式的不变性，方程两边求全微分可求出所求的偏导数或导数 2例1 设x=vw，y=uw，z=uv 及 f(x,y,z)=F(u,v,w)，证明 22 xfx+yfy+zfz=uFu+vFv+wFw ìx2=vwï2证 方程组 íy=uw 确定了函数组 ïz2=uvî数，为此，对方程组求微分得 ìx=x(u,v,w)ïíy=y(u,v,w)，先求这个函数组对各变元的偏导ïz=z(u,v,w)î 1 ìïdx=ì2xdx=wdv+vdwïïïí2ydy=wdu+udw， 即 ídy=ï2zdz=vdu+udvïîïïdz=îwvdv+dw2x2xwudu+dw 2y2yvudu+dv2z2zwvöæ¶x¶x¶xöæ÷ç ÷ç 0 2x2x¶u¶v¶w÷ç÷çç¶y¶y¶y÷çwu÷故 ç = 0 ÷ ÷ç2y÷ç¶u¶v¶w÷ç2y÷ç¶z¶z¶z÷çvuç ÷ç 0÷è¶u¶v¶wøè2z2zø将函数组代入方程f(x,y,z)=F(u,v,w)，得关于变元u,v,w的方程 f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))=F(u,v,w)， 在这方程两边分别对u,v,w求偏导，得 ¶x¶y¶z+fy+fz=Fu ¶u¶u¶u¶x¶y¶zfx+fy+fz=Fv ¶v¶v¶v¶x¶y¶zfx+fy+fz=Fw ¶w¶w¶w将上面三式分别乘以u,v,w后再相加，得 fx fyvwuvvwuwuwuv+fz+fz+fx +fx+fy2x2z2y2z2x2y=uFu+vFv+wFw 2将x=vw，y=uw，z=uv代入即得 22xfx+yfy+zfz=uFu+vFv+wFw。

¶2z¶2z¶2z2例2 若z=f(x,y)有连续二阶偏导数，满足方程2=，证明：若把2¶x¶y¶x¶y¶2y¶2y¶2y2= z=f(x,y)中y看成x,z的函数，则它满足同样形状的方程 22¶x¶z¶x¶z证 由z=f(x,y)确定y是x,z的函数，则有z=f(x,y(x,z))，方程两边分别对x,z求偏导，得 2 0=¶f¶f¶y¶x+¶y¶x 1=¶f¶y¶y¶z (1) 式再分别对x,z求偏导，得 0=¶2f¶2f¶y¶2f¶y2¶f¶2y¶x2+2¶x¶y¶x+¶y2(¶x)+¶y¶x2 (3) ¶2 0=f¶y¶2f¶y¶y¶f¶2y¶x¶y¶z+¶y2¶x¶z+¶y¶x¶z (2)式再对z求偏导，得 0=¶2f¶y2¶f¶2y¶y2(¶z)+¶y¶z2 由式 ¶2f¶2f¶x2¶y2(¶y¶z)2=¶f¶2y¶y¶z2[2¶2f¶y¶x¶y¶x+¶2f¶y2(¶y¶x)2+¶f¶2y¶y¶x2] =¶2y¶2y¶f2¶f¶2y¶2f¶y¶2¶x2¶z2(¶y)+f¶y2¶y¶z2[2¶x¶y¶x+¶y2(¶x)]¶2y¶2y¶f2=2¶2f¶y¶x¶z¶y¶y¶z)2[2¶2f¶y¶x¶y¶x+¶f¶y222-2(¶y2(¶x)] (由式) ¶2y¶2y¶f22=2¶f¶y¶y¶f¶y¶2f¶y¶y¶x2¶z2(¶y)-¶y2¶x¶z[2¶x¶y¶z+¶y2¶x¶z] 由式 (¶2f¶y22¶f¶y¶x¶y¶z)=(¶y¶f¶2y2¶y2¶x¶z+¶y¶x¶z) =(¶f¶2y22¶f¶y¶y22¶f¶y¶y¶f¶2y¶y¶x¶z)+(¶y2¶x¶z)+2¶y2¶x¶z¶y¶x¶z =(¶f¶2y¶y¶x¶z)2+¶2f¶y¶y¶2f¶y¶y¶f¶2y¶y2¶x¶z[¶y2¶x¶z+2¶y¶x¶z] ¶2z¶2z¶2因为z2¶x2¶y2=(¶x¶y)，则 3 ¶2y¶2y¶f2¶2f¶y¶y¶2f¶y¶2f¶y¶y -2[2+2] 22¶x¶z¶y¶y¶x¶z¶x¶y¶z¶y¶x¶z¶f¶2y2¶2f¶y¶y¶2f¶y¶y¶f¶2y=+2[2+2] ¶y¶x¶z¶y¶x¶z¶y¶x¶z¶y¶x¶z结合式得 ¶2y¶2y¶f2¶f¶2y2¶2f¶y¶y¶2f¶y¶2f¶y¶y¶f¶2y=+22[+2+] 22¶y¶x¶z¶x¶z¶y¶y¶x¶z¶x¶y¶z¶y¶x¶z¶y¶x¶z¶f¶2y2 = ¶y¶x¶z¶2y¶2y¶2y2=。

即 22¶x¶z¶x¶zìu=f(x,y,z,t)¶u¶uï, 例3 设 íg(y,z,t)=0，问什么条件下u是x,y的函数啊？求 ¶x¶yïh(z,t)=0î解 当g,h对各变元有连续的偏导数，且ìg(y,z,t)=0¶(g,h)¹0时，方程组í可确定函¶(z,t)îh(z,t)=0数组íìz=z(y)，代入u=f(x,y,z,t)即得u是x,y的函数 u=f(x,y,z(y),t(y)) ît=t(y)ìu=f(x,y,z,t)ï对方程组 íg(y,z,t)=0求微分，得 ïh(z,t)=0îìdu=fxdx+fydy+fzdz+ftdt (1)ï (2) ígydy+gzdz+gtdt=0 ï (3)îhzdz+htdt=0 记J=¶(g,h)，若J¹0，由式 ¶(z,t)1-gydy gt-gyhtdy dz= =J 0 Jht dt=代入得 1 gz -gydygyhzdy =J hz J0 4 -gyhtdygyhzdy du=fxdx+fydy+fzJ+ftJ =ffthz-fzhtJ]dy=fgy¶(h,f)xdx+[fy+gyxdx+[fy+J¶(z,t)]dy 故 ¶u¶x=f¶ugy¶(h,f)x， ¶y=fy+J¶(z,t) 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。