三垂线定理及其逆定理资料讲解.docx

三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理知识点：1. 三垂线定理；；2. 三垂线定理的逆定理；3. 综合应用；教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：PA,PO分别是平面a的垂线和斜线，AO是PO在平面a的射影，a ua , a丄AO求证：a丄PO ；证明：说明：（1）线射垂直（平面问题）=线斜垂直（空间问题）；2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；（3） 三垂线定理描述的是PO（斜线）、A0（射影）、a（直线）之间的垂直关系4） 直线a与PO可以相交，也可以异面5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理例1.已知P是平面ABC外一点，PA丄ABC, AC丄BC求证：PC丄BC例2.已知PA丄正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO丄BD, PC丄BD例4•在正方体AC中，求证：AC丄BD ,AC丄BC ；1 1 1 1 1 12．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知：求证： 证明：说明：例2 •在空间四边形ABCD中，设AB丄CD, AC丄BD。

求证：(1) AD丄BC ；(2)点A在底面BCD上的射影是ABCD的垂心；例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：求证：说明：可以作为定理来用兀 例 5 •已知：RtAABC 中，ZA = —, AB = 3, AC = 4 , PA 是面 ABC 的斜线，2兀ZPAB = ZPAc =3⑴求PA与面ABC所成的角的大小;⑵当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上；作业：1.正方体ABCD - ABC D , E, F分别是AA, AB上的点，EC丄EF.1 1 1 1 1 1求证：EF丄EB12•已知：PA丄平面PBC，PB = PC,M是BC的中点C求证：BC丄AM ；3.填空并证明：1)在四面体 ABCD 中，对棱互相垂直，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的(2)在四面体ABCD中，AB、AC、AD互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的(3) 在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心4) 在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。

4•正方体ABCD - ABCD中棱长a ,点P在AC上，Q在BC上，AP = BQ = a, 1 1 1 1 1(1)求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值；(2)求证：PQ丄AD5•在正方体ABCD - ABCD中，设E是棱AA上的点，且AE: EA二1:2 , F是棱AB上的1 1 1 1 1 1点，ZCEF 冷求 AF : FB厶6•点P是AABC所在平面外一点，且PA丄平面ABC若O和Q分别是AABC和APBC的垂心，试证：OQ丄平面PBC7.已知 ZEAF在平面Q 内，AT ua,P z,ZPAE = ZPAF , ZEAT = ZFAT,PD 丄a,D ea o求证：D e AT ；。