详解数列求和的方法+典型例题.docx

详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列 的求和都需要一定的技巧第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、等差数列的前n项和公式S _ n« + 气）_ 泌 + n（n - 1）d n ‘2 n _ nai + 22、 等比数列的前n项和公式

解：1、若 q =0，则 sn =0[[、若 q =1，贝g S = 1 + 2 + 3 + ... + n = — n（n +1）III、若q己0且q己1，qS = q + 2q 2 +3q 3 +... + nqn ②①式一②式：(1 - q) S = 1 + q + q 2+q 3 +... + qn-1 一 nqnn S =—i— (1 + q + q 2+q 3 +... + qn-1 - nqn) n 1 - q1 1 — qnn S =——(一七-nqn) n 1 - q 1 - q1 - qn nqnn s = ^^n (1 - q)2 1 - q综上所述：S =

第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）， 再把它与原数列相加，就可以得到n个（匕+气）例4：若函数f (x)对任意x e R都有f (x) + f (1 - x) = 21）气=f（0） + f（：） + f（|） + ... + f（§ + f⑴，数列｛叩是等差数列吗？是 证明你的结论；1（2）求数列｛u^o—｝的的刖n项和Jn+1解：(1)、a = f(0) + f(!) + f(2) + ..• + f(土)+ f(1)(倒序相加) n n n nn—1 n—2 1n广 f ⑴ + f (〒)+ f (二) + . . • + f (云)+ f (0)1 n -1 2 n - 21 + 0 = 一 + = — + = ... = 1n n n n则，由条件：对任意x e R都有f (x) + f (1 - x) = 2n 2a = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2(n +1)n a = n +1 n a = n + 2从而：数列｛aj是a1 = 2, d = 1的等差数列2)、1 1 1 1 = = — ax a (n + 1)(n + 2) n +1 n + 2^n T = + + + +n 2 x 3 3 x 4 4 x 5 (n +1)x (n + 2)1111^n T = — - 3 + 3- 3 + +11 — n +1 n + 211 n_ — 2 n + 2 2n + 4n故：T =——7n 2n + 4解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法在数列问题中，要学会灵活应用 不同的方法加以求解第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5：求数列｛ + n x 2n-1｝的前n项和Sn(n +1) n解：令 a = b = n x 2n-1n n(n +1) nS = (a + b ) + (a + b ) + (a + b ) + ・.・ + (a + b )n 1 1 2 2 3 3 n n=n S = (a + a + a +・.. + a ) + (b + b + b +・.. + b ) n 1 2 3 n 1 2 3 n—S = (1 — - + - — - + - + ... + - --^) + (1 + 2 x 2 + 3 x 22 + ... + n x 2n-1)n 2 2 3 3 n n +1n S = (1-^—) + (1 + 2x2 + 3x22 + ... + nx2n-1) n n +1令 T = 1 + 2 x 2 + 3 x 22 +... + n x 2 n-1 ①2T = 2 + 2 x22 +3 x 23 +... + n x 2 n ②①式一②式：(1 — 2)T = 1 + 2 +22 +23 +... + 2n-1 — nx2nn T =-(1 + 2 +22 +23 +... + 2 n-1 — n x 2 n ) n1 — 2 n -、n T =—( — n x 2n)n 1 — 2n T = (n — 1) x 2 n +1 n故：S = (1 - ^―) + (n — 1) x 2 n +1 = 2- ^― + (n — 1) x 2 n n n +1 n +1例6:求数列｛(xn+-^-)2｝的前n项和S Xn n分析：将an = (Xn + Xn)2用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。

^解：a = (Xn + —)2 = (xn)2 + 2 x xn x — + (—)2 = x2n + 2 + = x2n + 2 + (—)2n一)2n ] xS = [ X2 + 2 + (—)2 ] + [ X4 + 2 + (—)4 ] + ... + [ X2 n + 2 + (—)2 n ]^n S = (x2 + x4 + ... + x2n) + (2 + 2 + ... + 2) + [(—)2 + (—)4 +... +11（首项X 2，公比X 2等比数列）（常数列） （首项（一）2，公比（_）2等比数列）xx1、令 T = X 2 + X 4 +... + X 2 nx = 1 时，T = x2 + x4 + ... + x2n = 1 +1 + ... +1 = n②x丰 1 时，T = x2 + x4 +... + x2nX 2 — X 2 n x x 2 x 2 n+2 — X 21 — X 2 X 2 — 111、令 M = 2 + 2 + ... + 2 = 2nIII、令 Gn = (- )2+( - )4 +...+ (- )2 nx — 1 时，G = (—)2 + (—)4 +... + (—)2n = 1 +1 + ... +1 = n② X。

1 时，G = (X )2 +(X)4 +.+ (X )2 n1、 ，1、 ，1、 11X 2 n+2 — X 2)2—( )2 n X ( )2-— X X X X 2X 2 n+2X 2 X X 2 n+21 I、 一X 2 — 1X 2 — 11 — (—)2XX 2X 2X 2 n+2 — X 2 X 2 X 2 X (X 2 n — 1)= X = X 2 X X 2 n+2 X 2 — 1 X 2 n X X 2 X (X 2 — 1)X 2 n — 1X 2 n ( X 2 — 1)综上所述：① X — 1 时，S = T + M + G = n + 2n + n = 4nX 2 n+2 — X 2 X 2 n — 1② X丰 1 时，S = T + M + G = + 2n + 一(——这个题，除了注意分组。