灰色理论建模2012讲义.doc

灰色理论建模1 灰色系统发展概况1982年北荷兰出版公司期刊System & Control Letter发表了邓聚龙教授的论文“Control Problems of Grey Systems”，宣告了灰色系统理论的诞生经过整整20多年的发展，目前这一理论已成为一门新兴的边缘学科，应用日益广泛据1997年11月26日《中国科学报》在“中国有了自己的科学引文数据库”一文中报道：1989年至1996年，灰色系统理论被引用533次，居全国之先；2000年1月14日《科学时报》第四版，中国科学引文数据库CSCD在“全国论文与专著被引用频次在60次以上的著者”中报道，邓聚龙教授的论著以被引用143次，居全国榜首2002年3月24-26日在美国匹兹堡召开的系统与控制世界组织(WOSC)12届年会和国际一般系统研究会(IIGSS)4届年会联合大会上，由于在灰色系统理论研究中取得的创造性成果，中国的刘思峰教授同波兰科学院院士巴布尼茨基（Zdzislaw Bubnicki）教授和国际一般系统研究会主席福雷斯特（Jeffrey Forrest ）教授共同获得系统与控制世界组织突出贡献奖1.1 灰理论的特点与作用千百年来,人类为认识客观世界而不断地探索,但是,由于人的认识是一个无限的过程,因此对许多事物或系统的认识是不完全的,也是若明若暗的,这种系统信息的不完全性、不确定性即为灰性.灰理论把人的思维、思维的成果、人的经验、知识、智慧以及各种情报、资料和信息统统集成起来,从多方面的定量认识上升到定性认识,达到从整体上研究和解决问题的目的,是科学方法论上的重大进展,具有重要的科学意义和深远的学术影响。

灰理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控灰理论经过20多年的发展，已基本建立起一门新兴学科的结构体系其主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系其理论基础是灰朦胧集；方法基础是系统科学和数学；实践基础是系统工程应用；哲学基础是马克思主义认识论和实践论灰色系统理论是研究不确定性问题的方法论上的创新，从方法论层次来看,其特点和对“少数据不确定性”系统研究的指导作用主要体现如下：一、研究路线 灰色系统理论采取了从整体到部分再由部分到整体,把宏观和微观结合起来,从不同方位、不同角度来研究问题.也就是说,灰色系统理论的思维方式是多视角.对于少数据不确定性问题,由于是有限维问题,不可能象概率与数理统计那样重复再现,也不可能象模糊数学那样外延量化,只能从多角度、多方位来挖掘系统的内在规律灰模型的建立过程就是这样.经典的数学模型大都是用微分方程来表示的,它适合连续可微的对象.对于不确定性系统的行为特征—序列,首先是不连续的,更谈不上可微性.再者,微分方程属于无穷信息空间,而有限序列是有穷信息空间。

因此,用序列作微分建模时,首先从序列的角度了解一个真正的微分方程模型应该满足哪些条件,然后分析现有序列是否满足这些条件,对那些可以近似地满足微分模型构成条件的序列,建立近似的微分方程模型二、技术路线灰色系统理论的依据是信息覆盖,依靠信息覆盖去描述、分析、综合、处置信息不完全、不确定的灰对象.信息覆盖的内涵是指用一组信息去包容、覆盖给定的命题,也就是利用已知的、不同方面的一些定量描述,通过灰生成手段来研究系统的性质,最终给出定性分析,找出现实规律,从而达到从实验、理论、研究的回答.例如要研究一个人的健康状况,首先找出与健康有关的因素,如血压、心跳、体温等等,也就是说如果利用这些信息构成一个集合,那么这个集合就可以大体上描述这个人的身体情况.当然,集合的构成越多,描述的则越详细从这种意义上来说,集合的信息覆盖了健康状况因此,通过研究集合的因素形态,就可以达到认识一个人健康状况的目的三、实现信息、知识、智慧的不断深化信息、知识、智慧是三个不同层次的问题有了信息，未必有知识，有了信息、知识也未必有智慧，信息的综合可以获得知识,信息、知识的综合可以获得智慧.灰色系统理论为了研究“少数据不确定性”系统,首先挖掘系统的有用信息,用信息覆盖来描述系统,通过对信息的分类、加工及处理,找出系统的内部规律,使人们掌握研究事物的知识,获得开发系统的智慧。

在自然科学、数学科学等这些所谓“精密科学”中,是用严密的逻辑推理、精确的物理、化学和生物实验,来证明和验证经验性判断的正确与否,从而得出科学结论.但这种方法对一些系统问题,如社会系统中的问题既不是简单的逻辑推理能得出结论的,也不能直接进行社会实验.这就需要有新的方式来完成这个过程.灰色系统理论处理的过程是按照胚胎集→发育集→成熟集→实证集来完成的,也就是运用辨证思维的方式,从实验到理论再到研究的过程用模型和模型体系来描述系统是系统定量研究的有效方式这种方式在自然科学、系统科学中被广泛使用.在系统科学中,对简单系统、大系统、简单巨系统的研究,几乎完全是基于数学模型.但需要指出的是,对系统建立模型,必须紧密结合系统实际,要基于对系统的真实了解,依据实际数据,提炼出系统内部的某些内在定量联系,将系统描述出来为此,甚至借助于经验知识的帮助,而不是追求数学上的完美,这是一个经验与科学知识相结合的过程.因为数学上的完美性,并不一定代表系统的真实性灰色模型是灰色系统理论的重要内容之一,不同于“白因白果率”的经典模型,它是少数据基于灰因白果率、差异信息原理、平射原理的建模,它既不是一般的函数模型,也不是完全的差分方程模型，或者完全的微分方程模型,而是具有部分差分、部分微分性质的模型。

模型在关系上、性质上、内涵上具有不确定性在数据与信息体系、指标体系、模型体系的支持下，灰色系统理论依据信息认知原理、解的非唯一性原理、白化原理、灰性不灭原理、最少信息原理对少数据不确定性系统进行分析,使得信息、知识、智慧之间不断深化，从而达到认识、解决问题的目的2 灰色关联度理论灰关联理论不仅是灰色系统理论的重要成果之一，而且是灰预测、灰建模、灰决策和灰控制的基石下文将对数据变换的类型及性质进行讨论，建立点关联度理论，并对目前应用众多的关联度分析方法进行研究2.1 数据变换技术为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性定义1 设有序列则称映射为序列x到序列y的数据变换1）当称f是初值化变换；2）当称f是均值化变换；3）当称f是百分比变换；4）当称f是倍数变换；5）当其中x0为大于零的某个值，称f是归一化变换；6）当称f是极差最大值化变换；7）当称f是区间值化变换定义2 设有多指标序列则称映射为序列xi到序列yi的数据变换多因素多指标的数据变换方法主要依赖于指标的属性类型，目前文献中见到的属性类型有效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型六种[162]。

效益型属性是指指标值越大越好的属性，成本型属性是指指标值越小越好的属性，固定型属性是指指标值接近某固定值a (k)越好的属性，区间型属性是指指标值越接近某固定区间（包括落入该区间）越好的属性，偏离型属性是指指标值越偏离某固定值c (k) 越好的属性，而偏离区间型属性是指指标值越偏离某区间越好的属性记 为因素集的下标集合 为指标集的下标集合，分别表示效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型指标的下标集合，则有 关联分析中常用的一组数据变换可归纳为：其中 其中 2.2 点关联度定义3设为灰关联因子集,为参考序列,为比较序列,, 分别为与的第个点的数,即若 其中为绝对差，为两极最小差，为两极最大差，为分辨系数，且，(注：上述定理中的值在实际计算中一般取0.5)为k点权重，满足 则称为和的灰关联系数，称为对的灰关联度 一般地，若，则说明与的相关程度比与的相关程度要高，或者理解为对的影响程度比对的影响程度要大2.3 灰关联分析方法灰色关联分析方法，一般包括下列的计算和分析步骤：(1) 确定参考序列和比较序列；(2) 作原始数据变换；(3) 求绝对差序列；(3) 计算关联系数；(4) 计算关联度；(5) 排关联序；(6) 列关联矩阵进行优势分析。

应用实例1 以呼和浩特市1999—2003年大气污染监测数据为例,用灰色关联度方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素的污染水平各因素的统计值见表1表1 1999-2003年城市大气污染监测数据因素19992000200120022003大气污染值（g/m3）0.7320.6460.6360.5980.627NOx （g/m3）0.0380.0310.0420.0360.043TSP（g/m3）0.5070.4510.4480.4110.122SO2（g/m3）0.0480.0340.0300.0300.031工业总产值（亿元）183.25207.28240.98290.80370.00基建投资（亿元）24.0344.9862.7983.44127.22机动车数量（辆）855087431385966100554109804煤炭用量（万吨）175.87175.72183.69277.11521.26沙尘天数（天）10131311（1）将城市区域大气污染值作为参考序列，其它各因素作为比较因素序列，对各因素初值化处理，得各标准化序列 得到无量纲序列表2 表2 各因素数据序列无量纲因素19992000200120022003大气污染值（g/m3）10.8830.8690.8170.857NOx （g/m3）10.8161.1050.9471.132TSP（g/m3）10.8900.8840.8110.241SO2（g/m3）10.7080.6250.6250.646工业总产值（亿元）11.1311.3151.5872.019基建投资（亿元）11.8722.6133.4725.294机动车数量（辆）10.8691.0051.1761.284煤炭用量（万吨）10.9991.0441.5762.964沙尘天数（天）11.3001.3000.1000.100（2）根据上表求出差,得序列： 显然 （3）由此计算出关联系数如下：令，则有；；；；；；；（4）计算关联度并进行优势因素分析取，求得比较因素和参考因素的关联度如下： ；；；；；；；以上八个比较因素中，为比较方便，把这八个因素分为直接因素（前三个）和间接因素（后五个）。