证明四点共圆的基本方法.doc

证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径2、利用三角形的关系(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆已知 C、D 段 AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB求证：A，B，C，D 四点共圆证明：如图 7-39，过 A，B，C 三点作⊙O1)如果 D 点在⊙O 内部，则延长 BD 交⊙O 于 ，连 A D∵∠ =∠C，且∠ADB＞∠ ∴∠ADB＜∠C，这与∠ADB=∠ACB 矛 盾因此 D 点不可能在⊙O 的内部2)如图 7-40，如果 D 点在⊙O 的外部，连 AD，BD则必有一条线段与⊙O 相交，设 BD 与⊙O 交于 ，连 A ∵∠A B=∠ACB，且∠D＜∠A B∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB 矛盾因此，D 点不可能在⊙O 的外部综上所述，D 点必在⊙O 上3、利用四边形的关系(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图 7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42)4、利用线段的乘积式的关系(1)线段 AB，CD 相交于 P，且 PA·PB=PC·PD，则 A，B，C，D 四点共圆。

证明：如图 7-43，连 AD，BC，AC在△APD 和△BPC 中，∵PA·PB=PC·PD，∴ P又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△BPC∴∠B=∠D，又 B，D 段 AC同侧因此，A，C，B，D 四点共圆2)两线段 AB，CD 的延长线相交于 P，且 PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D 四点共圆(图 7-44)例 1、过正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点 P 作边的平行线其交点分别为 E，F，G，H，证明这些交点在以对角线的交点 O 为圆心的圆上分析：由于 P 点选取的任意性及正方形 ABCD 顶点，对角线交点的固定性，应通过三角形全等证明 OE=OF=OG=OH，根据圆的定义证明四点共圆证明：如图 7-45，连 OE、OF、OG、OH∵OA=OB=OC，∠OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45º，AH=BE=BF=CG∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCGDͼ7-40OA BCDͼ7-41OA BCDEͼ7-42OA BCDͼ7-44OPCDB Aͼ7-45PFBEAHOCGDͼ7-39OA BCDPͼ7-43OABCD∴OH=OE=OF=OG。

因此，E，F，G，H 四点共圆例 2、从一定点 P 向各同心圆作切线，求证各切点共圆分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的垂直关系可以考虑使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进行证明证明：如图 7-46，连 OPBA,,∵∠OAP=∠O P=∠OBP=∠O P=90º，且都以 OP 为斜边，∴A，B， ， 共圆例 3、已知 AB，CD 是⊙O 的弦，且 AB∥CD，M 为 AB 的中点，DM 交⊙O 于 E，求证 E，M，O，C 四点共圆分析：注意“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”与“同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆”的区别与联系前者的直角可在斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧本题应使用后者进行证明证明：连 OE，OM，OC，MC，反向延长 OM 与 CD 交于 N，如图 7-47 所示∵AB∥CD，AM=BM，∴MC=MD，∠MCD=∠MDC又∠CME=∠MCD+∠MDC=2∠MDC，而∠COE=2∠MDC，∴∠CME=∠COE，且 M，C 段 CE同侧因此 E，M，O，C 四点共圆例 4、两圆交于 A，B 过 B 的直线交两圆于 C，E，在 BA 的延长线上任取一点 P，连PC，PE，交两圆于 D，F。

求证：P，D，A，F 四点共圆分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆” ，也可以考虑使用“如果四边的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆” 证法 1：如图 7-48，由∠PDA=∠ABC，∠PFA=∠ABE，并且∠ABC+∠ABE=180º，所以∠PDA+∠PFA=180º因此 P，D，A，F 四点共圆证法 2：由∠PDA=∠ABC，∠ABC=∠AFE，所以∠AFE=∠PDA因此 P，D，A，F 四点共圆例 5、从⊙O 外一点 A 作切线 AB，AC 过 BC 的中点 M 作弦 PQ求证：Q，P，A，Q 四点共圆分析：使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证明四点共圆较为困难本题可以使用相交弦定理的逆定理进行证明证明：如图 7-49 连 OB，则 OB⊥AB，又 BC⊥OA，所以根据射影定理，有 AM·OM2BM根据相交弦定理，有 PM·QM=BM·CM= 2B∴AM·OM=PM·QM根据相交弦定理的逆定理，有 O，P，A，Q 四点共圆例 1、两个角的边交于点 A、B、C、D(如图 5-18)，已知这两角的平分线互相垂直求证：A、B、C、D 四点共圆。

证明：由题意可设∠AEM=∠MEB= ，∠NMF=∠AME= ，∠DAB 是△EAM 的外角，所以∠DAB= 因为 EN⊥NF，所以∠EPN=90º－ ，∠NFM=90－ =∠PFC又∠EPN 与∠CPF 是对顶角，∴∠CPF=∠EPN=90º－ ∠BCD 是△PCF 的外角，∴∠BCD=∠PEC+∠CPF=(90º－ )+(90º－ )=BAͼ7-46 POBAͼ7-47MON DCBEAͼ7-48 EBCFADPͼ7-49GCMP OBA 90E PFNMDCBAͼ5-18180于是∠DAB+∠BCD= =180)180()(∴A、B、C、D 四点共圆例 2、O 为△ABC 内一点，BO、CO 分别交 AC、AB 于 D、E如果BE·BA+CD·CA= 求证：A、D、O、E 共圆2证明：∵BE·BA+CD·CA= ，∴BE·BA∠ ①2BC2BC故段 BC 上存在一点 F(如图 5-19)，使 BE·BA=BF·BC②由①，得 CD·CA= －BE·BA=(BF+FC)·BC－BF·BC，2即 CD·CA=FC·BC③连 AF，由②知 A、C、F、E 四点共圆。

∴∠1=∠2又由③知 A、B、F、D 四点共圆∴∠3=∠4∴∠BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD∴A、D、O、E 四点共圆例 3、如图 5-20，设 AD、BE、CF 为△ABC 的高，垂心为H，N、S、P 分别为三边中点，G、T、M 分别为 AH、BH、CH 的中点求证：D、E、F、G、T、M、N、S、P 九点共圆分析：对于多点共圆问题，要归结为四点共圆问题加以解决所以，欲证九点共圆，可先证其中四点共圆再证余下五点都在此圆周上证明：∵PS∥TM∥ BC(PS=TM= BC)，2121PT∥SM∥ AH(PT=SM= AH)，又 AD⊥BC，∴PTMS 的矩形同理证 TNSG 也为矩形故 TS、NG、PM 是同一个圆的三条直径又∠GDN=90º，∴D 在此圆上同理，E、F 也在此圆上故结论成立说明：本题是著名的“九点圆定理” ，即：任意三角形三条高的垂足、三边的中点、以及垂心与三顶点连线的中点，这九个点共圆其证明方法很多，上述是用四点共圆给以证明的例 4、如果在凸五边形 ABCDE 中，∠ABC=∠ADE 且∠AEC=∠ADB求证：∠BAC=∠DAE分析：欲证∠BAC=∠DAE，如图 5-21，在△ABC 与△ADE 中，已知∠CBA=∠ADE，故只须证明∠BCA=∠DEA 即可。

证明：∵∠AEC=∠ADB，∴A、F、D、E 四点共圆∴∠AFE=∠ADE，而∠ADE=∠ABC∴∠AFE=∠ABC∴A、B、C、F 四点共圆于是，得∠BCA=∠BFA=∠DEA在△BCA 与△DEA 中，∵∠ABC=∠ADE，∠BCA=∠DEA，∴∠BAC=∠DAE例 5、设⊙ 、⊙ 、⊙ 两两外切，M 是⊙ 、⊙ 的切点，R、S 分别是1O231O2⊙ 、⊙ 与⊙ 的切点，连心线 交⊙ 于 P，交⊙ 于12312Q求证：P、Q、R、S 四点共圆分析：如图 5-22，连结 MR、PR，则∠PRM=90º，欲证 P、Q、R、S 四点共圆，设法证明∠PRS 与∠Q 互补即可证明：连结 RM、PR、RS、SQ，并作切线 RN，则在四边形 PQSR4321OFE DCBAͼ5-19TSMNHPF ED CBAͼ5-20ͼ5-21F EDCBA3O12NSR M QP ͼ5-22中，∠Q= ∠ ，21O23∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90º+∠P+ ∠213O=90º+ ∠ + ∠ ，2133∴∠Q+∠PRS=90º+ (∠ +∠ +∠ )=90º+90º=180º12213∴P、Q、R、S 四点共圆。

例 5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，试证：该四边形四个顶点共圆分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻找共圆条件，以证得结果证：如图 7－5，在四边形 ABCD 中引 AE，BE 使得∠1=∠2，∠3=∠4则△ABE∽△ACD，所以 CDBEA即 ①CDAB连结 ED，由∠BAC=∠EAD 及 得△BAC∽△EAD，因此 E即 ②①+②得 )(EDBACDCAB但由题设 可知 ，故 B，E，D 三点共线，所以 F∠ABD=∠ACD于是 A，B，C，D 四点共圆例 2 设△ADE 内接于圆 O，弦 BC 分别交 AD，AE 边于 F，G，且 (图 3-35)求»AC证： 四点共圆GEF,,分析欲证 F，D，E，G 四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出 AF·AD=AG·AE 成立，则 F，D，E，G 必共圆．证：作 交圆 O 于 N，因为 ，则 必为⊙O 的直径，BCAM»ABCN所以∠FDN=∠FMN=90°，所以 F，D，N，M 四点共圆，所以 AD·AF=AN·AM．同理，AG·AE=AN·AM，所以 AD·AF=AG·AE，所以 F，D，E，G 四点共圆．多点共圆问题这里所说的多点共圆是指四点及四点以上的诸多点共圆问题，而其中四点共圆是基本技能，应立于善于将其灵活运用于解题实践之中；后者也很重要，其方法主要是先证其中四点共圆，然后证明其余各点均在这个圆上，另外，定义有时也能起到很大的作用。

例 1、如图 14-5 所示，在△ABC 的边 AB、BC、CA 上分别用黑点标出 C1，A1 和 B1，它们都不是这些边的端点，现知有 及∠BAC=∠B1A1C1，证明：黑点为顶点的ABCA11三角形相似于△ABCEDCBA4321N3-55FMOD ECB A分析、要证两三角形相似，已有∠BAC=∠B1A1C1，再设法找出另一对角相等即可证明：过 C1 作 C1M∥AC，如图，连 B1M，则 ，从ABCM1而 B1M∥AB故四边形 AC1MB1 为平行四边形，∠B1A1C1=∠A=∠B1MC1于是 A1，C1、B、M 四点共圆，∠A1B1C1=∠A1MC1又 C1M∥AC，故∠C=∠A1MC1=∠A1B1C1因此△A1B1C1∽△ABC例 2、如图 14-6 所示，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长 AB 和 DC相交于 E，延长 AD 和 BC 相交于 F，EP 和 FQ 分别切⊙O 于 P、Q求证：EP2+FQ2=EF2分析、对于在解题中需证明某四点共圆的问题，是一个较难掌握的问题，一般只能按结论逐步推理此例所要证明的结论中 EP、FQ 均在切线，此我们不妨从割线定理着手。