45 向量空间(同济大学第五版).pdf

§§5 5 5 5 向量空间向量空间封闭的概念封闭的概念定义：定义：所谓所谓封闭封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．的结果仍属于该集合．例：例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？试讨论下列数集对四则运算是否封闭？�整数集整数集 Z Z Z Z�有理数集有理数集 Q Q Q Q�实数集实数集 R R R R向量空间的概念向量空间的概念定义：定义：设设 V V V V 是是 n n n n 维向量的集合，如果维向量的集合，如果①① 集合集合 V V V V 非空，非空，②② 集合集合 V V V V 对于向量的对于向量的加法加法和和乘数乘数两种运算封闭，两种运算封闭，具体地说，就是：具体地说，就是：�若若 a a a a ∈∈ V V V V，， b b b b ∈∈ V V V V，则，则a a a a + + + + b b b b ∈∈ V V V V ．．（对加法封闭）（对加法封闭）�若若 a a a a ∈∈ V V V V，， λ λ λ λ ∈∈ R R R R，则，则 λ λ λ λ a a a a ∈∈ V V V V ．．（对乘数封闭）（对乘数封闭）那么就称集合那么就称集合 V V V V 为为向量空间向量空间．．例 1全体全体 n 维向量的集合维向量的集合{(x1, x2, …, xn)| xi   R, i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为是一个向量空间，记为 Rn.特别的特别的特别的特别的n = 1 时全体实数时全体实数 R 是一个向量空间是一个向量空间;n = 3 时时全体三维向量全体三维向量 {(x1, x2, x3) |xi   R, i= 1, 2, 3 } 是一个向量空间，记为是一个向量空间，记为R3.n = 2 时全体平面中的向量时全体平面中的向量 {(x1, x2 ) | xi  R, i=1, 2} 是是一个向量空间，记为一个向量空间，记为R2. 例 3例 2 仅含一个仅含一个 n 维零向量维零向量 0 = (0, 0, …, 0) 的集合的集合 {0} 构成一个向量空间，称为构成一个向量空间，称为零空间零空间零空间零空间.集合 V{x| x(0 x2  xn)T  x2  xnR} 是一个向量空间 证明 若a(0 a2  an)T V b(0 b2  bn)T  则ab(0 a2b2  anbn)TV a(0 a2  an)TV例 4 集合V{x| x(1 x2  xn)T  x2  xnR} 不是向量空间证明 若a(1 a2  an)TV 则 2a(2 2a2  2an)T V例 5设a b为两个已知的n维向量 集合 L{x| xab  R} 是一个向量空间(称为由向量a b所生成的向量空间)证明 若x11a1b x22a2b 则x1x2(12)a(12)bLkx1(k1)a(k1)bL例 6一般地 由向量组向量组a1  a2   am所生成的向量空间所生成的向量空间为 L{x| x1a12a2  mam 1 2  mR}设向量组 a1 a2  am 与向量组 b1 b2  bs 等价 记L1{x| x1a12a2  mam 1 2  mR} L2{x| x1b12b2  sbs 1 2  sR} 试证 L1L2 (结论：结论：等价的向量组所生成的空间相等等价的向量组所生成的空间相等．)证明 设 xL1 则 x 可由 a1 a2  am 线性表示 因为 a1 a2  am 可由 b1 b2  bs 线性表示 故 x 可由 b1 b2  bs 线性表示 所以 xL2 这就是说若 xL1 则 xL2 因此 L1L2类似地可证：L2L1 所以 L1L2a a a aλ λ λ λ a a a aL L L L = { = { = { = {λ λ λ λ a a a a | | | | λ λ λ λ∈∈R R R R } } } }L L L L = { = { = { = {λ λ λ λ a a a a + + + + µ µ µ µ b b b b | | | | λ λ λ λ, , , , µ µ µ µ∈∈R R R R } } } }a a a ab b b bc c c cL L L L = { = { = { = {λ λ λ λ a a a a + + + + µ µ µ µ b b b b + + + + γ γ γ γ c c c c | | | | λ λ λ λ, , , , µ µ µ µ, , , , γ γ γ γ ∈∈R R R R } } } }λ λ λ λ a a a aµ µ µ µ b b b bγ γ γ γ c c c ca a a ab b b b λ λ λ λ a a a aµ µ µ µ b b b b例 7例 8齐次线性方程组的解集 S{x| Ax  0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间) 非齐次线性方程组的解集 S{x| Axb} 不是向量空间证明 当 S 为空集时 S 不是向量空间 当 S 非空间 若 S 则 A(2 )2bb 知 2 S 证明 若 x1 x2S 则A(x1x2)  Ax1Ax2 = 0+0 = 0A(kx1)  kAx1 = 0,因此，x1x2，kx1S设有向量空间V1及V2 若V1V2 就称V1是V2 的子空间子空间子空间子空间 定义定义2 2定义定义2 2例 9V 本身和本身和 {0} 都是都是 V 的子空间，称它们为的子空间，称它们为 V 的的平凡子空间平凡子空间平凡子空间平凡子空间. . 它们分别构成它们分别构成 V 的最大和最小的最大和最小的子空间的子空间. V的其他的子空间称为的其他的子空间称为非平凡子空间非平凡子空间非平凡子空间非平凡子空间. .由定义可知，向量空间由定义可知，向量空间 V 的非空子集的非空子集 W 是是 V 的子空间的子空间 当且仅当对任意的当且仅当对任意的αα，，β∈β∈ W 及数及数 k, l ∈∈ R, 都有都有 kαα+lβ∈β∈W. 向量空间的基的概念向量空间的基的概念定义：定义：设有设有向量空间向量空间 V V V V ，如果在，如果在 V V V V 中能选出中能选出 r r r r 个向量个向量a a a a1 1 1 1, , , , a a a a2 2 2 2, , , , …………, , , ,a a a ar r r r，满足，满足①① a a a a1 1 1 1, , , , a a a a2 2 2 2, , , , …………, , , , a a a ar r r r 线性无关；线性无关；②② V V V V 中任意一个向量都能由中任意一个向量都能由 a a a a1 1 1 1, , , , a a a a2 2 2 2, , , , …………, , , , a a a ar r r r 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 a a a a1 1 1 1, , , , a a a a2 2 2 2, , , , …………, , , , a a a ar r r r 是是向量空间向量空间 V V V V 的一个的一个基基．．r r r r 称为称为向量空间向量空间 V V V V 的维数的维数，并称，并称 V V V V 为为 r r r r 维向量空间维向量空间 ．． 向量空间向量空间向量空间的基向量空间的基向量空间的维数向量空间的维数向量组向量组向量组的最大无关组向量组的最大无关组向量组的秩向量组的秩注： （1）若向量空 间V没有基 那么V 的维数为0 （2）0维向量 空间只含一个向 量0，没有基向量空间向量空间的的基基设V 为向量空间 若有 r 个向量 a1 a2  arV 且满足 ① a1 a2  ar 线性无关 ② V 中任一向量都可由 a1 a2  ar 线性表示则称向量组 a1 a2  ar 就称为向量空间V 的一个基一个基 120 ,,,rAx 若齐次线性方程组的一组解向量满足12(1),,,;r 线性无关12(2)0,,,.rAx 的任一解都可由线性表示12,,,0tAx 则称称为的一个基础解系.基础解系基础解系(2) A 中任一向量都可由 A0 表示,(1) 线性无关, 若在向量组 中找到 r 个向量 满足则向量组 A0 是向量组 A 的一个最最最最大无关组大无关组大无关组大无关组. A12,,,r 012:,,,rA 最大无关组最大无关组1. 1. 1. 1. n n n n 维向量的全体维向量的全体 R R R Rn n n n解：解：E E E En n n n 的列向量组是的列向量组是 R R R Rn n n n 的一个基，故的一个基，故R R R Rn n n n 的维数等于的维数等于 n n n n . .2. 2. 2. 2.集合集合 V V V V1 1 1 1 = { ( = { ( = { ( = { (0 0 0 0, , , , x x x x2 2 2 2, , , , …………, , , , x x x xn n n n) ) ) )T T T T | | | | x x x x2 2 2 2, , , , …………, , , , x x x xn n n n∈∈R R R R } } } }解：解：E E E En n n n 的后的后 n n n n－－1 1 1 1个个列向量是列向量是V V V V1 1 1 1 的一个基，故的一个基，故 V V V V1 1 1 1 的维数等于的维数等于 n n n n－－1 1 1 1 ．．结论：若结论：若V V V V1 1 1 1 是是V V V V 的子空间，则的子空间，则V V V V1 1 1 1 的维数不超过的维数不超过V V V V 的维数．的维数．3. 3. 3. 3. n n n n 元元齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S S S S1 1 1 1 = { = { = { = { x x x x | | | | AxAxAxAx = 0 } = 0 } = 0 } = 0 }解：解：齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是是 S S。