实变函数习题解答(2)参考.pdf

第二章习题解答1、证明0PE的充要条件是对任意含有0P的邻域 U(P，) （不一定以0P为中心）中，恒有异于0P的点1P属于 E（事实上，这样的1P还有无穷多个）而0P0E的充要条件则是有含0P的邻域 U(P ，)（同样，不一定以0P为中心）存在，使 U(P ，)E 证明： （1）充分性，用反证法，若0PE ，则0P的某一邻域 U(0P，0)中至多有有限个异于0P的点1X，2X，nX属于 E，令ni1mind(0P，ix)=，在 U(0P，)中不含异于0P的点属于 E ，这与条件矛盾必要性，设 U( P ， ) 是任意一个含有0P的邻域，则 d(0P，E )0，则 U(0P，1)U( P ，)因为0PE ，所以，在 U(0P，1)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P的点1P，即 U( P ，) 中有异于0P的点1P2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有0P的邻域 U(P ，)E ，则 d(0P，P)，令1=- d(0P，P )，则 U(0P，1)U(P ，) ，从而 U(0P，1)E ，故0P0E 2、设nR =R 是全体实数，1E是0 ，1 上的全部有理点，求1E，01E，1E。

解：1E=0，1 ，01E=，1E=0，1 3、设nR =2R 是普通的x oy 平面，2E=(x， y )|2x+2y1，求2E，02E，2E解：2E=(x， y )|2x+2y1 ，02E=(x， y )|2x+2ya 是开集，而1Ex|f(x)a是闭集证明：若 E x|f(x)a，则 E 是开集，若 E ，0 xE，有f(0 x)a， 因为f(x)在0 x连续，所以0， 当xU(0 x， ) 时， 有f(x)a，即 U(0 x，)E ，所以0 x是 E 的内点，故 E 是开集同理可证 x|f(x)a是开集，而1Ex|f(x) a 是x|f(x)a 的余集，所以1E是闭集9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集证明：设 F 为闭集，令nGx|d (x， F )n1 ，则nG是开集事实上，0 xnG，有 d(0 x， F )n1，即Fyinf d(0 x， y )n1，所以0yF ，使 d(0 x，0y) n1，令 n1，xU(0 x，) ，有 d(0 x，x)，d(x，0y)d(0 x，x)d(0 x，0y)n1，于是 d(x， F )Fyinf d(x， y )d(x，0y)n1，所以xnG，U(0 x，)nG，故nG是开集。

99 100 以下证明 F 1nnG显然 FnG(n1，2， ) ，所以 F1nnGx1nnG，有xnG(n1，2，)、d(x，F )0，nkx使|f(nkx)f(0 x)| 0( k 1， 2， ) 即f(nkx)f(0 x) 0或f(nkx) f(0 x) 0，若f(nkx) f(0 x) 0，令C f(nkx)0，则nkxE x|f(x) C，因为nkx0 x，所以0 xE ，而f(0 x)f(0 x)0C，所以0 xE ，与 E 为闭集矛盾；若f(nkx) f(0 x)0，则可导出与1E为闭集矛盾12、证明 2定理 5 定理 5：设 E， E nR ，则 E 至少有一界点（即E ） 证明：因为 E ，EnR ， 所以存在0PE ，1PE ， 设0P(1a，2a， ，na)，1P(1b，2b，nb) ，令tP( t1b(1 t )1a，t2b(1 t )2a，tnb(1 t)na)(0 t1)，0tsup t|tPE 以下证明0tPE 1）若0tPE ，则0t1（否则0tP1PE ）当 t0 ，1 ，满足0tt 1时,tPE于是，对任意n，存在nt，满足0tnt1，nt0t，使ntPE ，显然有ntP0tP，所以0tPE 。

2）若0tPE ，则0t0，存在nt，0nt0t，nt0t，ntPE ，同样有0tPE 103 104 。