为严格对角占优阵PPT课件.ppt

6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 定义3 (1) 如果 的元素满足 称 为严格对角占优阵. (2) 如果 的元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立，称 为弱对角占优阵. (对角占优阵) 设 定义4设 ,如果存在置换阵 使（3.6）其中 为 阶方阵， 为 阶方阵 ，为可约矩阵. 否则，如果不存在这样置换阵 使(3.6)式成立，则称 为不可约矩阵. (可约与不可约矩阵)则称 为可约矩阵意即 可经过若干行列重排化为(3.6)或 可化为两个低阶方程组求解. 如果 经过两行交换的同时进行相应两列的交换，称对 进行一次行列重排. 事实上，由 可化为 且记 于是，求解 化为求解 其中 为 维向量. 由上式第2个方程组求出 , 显然，如果 所有元素都非零，则 为不可约阵. 再代入第1个方程组求出 例7则 都是不可约矩阵. 设有矩阵 定理6如果 为严格对角占优矩阵或 为不可约弱对角占优矩阵，则 为非奇异矩阵. 证明只就 为严格对角占优阵证明此定理. 采用反证法，如果 ，则 有非零解，记为 , 由齐次方程组第 个方程 则有 (对角占优定理)则 即 与假设矛盾，故 定理7 设 , (1) 为严格对角占优阵，则解 的雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) 为弱对角占优阵，且 为不可约矩阵，则解 雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. 证明如果： 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理. 由设可知， ，解 的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵为 下面考查 的特征值情况.由于 , 于是 特征值即为之根. 记 下面证明，当 时， ，即 的特征值均满足 ， 事实上，当 时，由 为严格对角占优阵， 这说明，当 时，矩阵 为严格对角占优阵，再由对角占优定理有 由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛. 有 证明有 ，设 的特征值为 ， 定理8或 另一方面 (SOR方法收敛的必要条件)设解方程组 的SOR迭代法收敛，则由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3)则 从而 即 定理8说明解 的SOR迭代法，只有在 范围内取松弛因子 ，才可能收敛. 定理9设 ， (1) 为对称正定矩阵， 则解 的SOR迭代法收敛. 如果： 证明在上述假定下，只需证明 ，其中 为的任一特征值. 事实上，设 为对应 的 的特征向量，亦即 即 为了找出 的表达式，考虑数量积 则 显然 记 由于 ，所以 , （3.7）故（3.8）所以 从而 当 时，利用(3.7)，(3.8)，有 当 时，即 的任一特征值满足 ， 故SOR方法收敛可以证明 定理10设 ， (1) 为严格对角占优矩阵(或 为弱对角占优不可约矩阵)； 如果： 则解 的SOR迭代法收敛. 下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 且 越小时，迭代法收敛越快. 及一阶定常迭代法 （3.9）且设迭代法收敛，记 ， 现设有方程组则 由基本定理有 , 且误差向量 满足 故 设 为对称矩阵，则有 欲使 取对数，得到所需最少迭代次数为 （3.10） 这说明，所需迭代次数与 成反比. 越小， 越大，由(3.10)式所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快. 对于SOR迭代法希望选择松弛因子 使迭代过程(2.10)收敛较快， 定义5称 为迭代法(3.9)的渐近收敛在理论上即确定 使 对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因子理论. 例如，对所谓具有“性质 ” 等条件的线性方程组建立了最佳松弛因子公式速度，简称迭代法收敛速度. 其中 为解 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)，可以给出 的计算方法， 但一般来说，计算 是有困难的，可用试算的办法来确定一个适当的 . 算法2设 ，其中 为对称正定(SOR迭代法)矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等， 本算法用SOR迭代法求解 ，数组 存放 及 ，用 控制迭代终止，用 表示最大迭代次数. 也可用 来控制迭代终止，其中 6.4 分块迭代法 上述迭代法，从 计算时，是逐个计算的分量 ，这种迭代法又称为点迭代法. 分块迭代法，就是一块或一组未知数同时被改进. 设 ，其中 为大型稀疏矩阵且将 分块为三部分 ， 其中 且 为 非奇异矩阵，对 及 同样分块 其中， (1) 块雅可比迭代法(BJ) 选取分裂阵 为 的对角块部分，即选 于是，得到块雅可比迭代法 （4.1）其中迭代矩阵 或 由分块矩阵乘法，得到块雅可比迭代法的具体形式 （4.1）其中 这说明，块雅可比迭代法每迭代一步，从 ，需要求解 个低阶方程组 (2) 块SOR迭代法(BSOR) 选取分裂矩阵 为带松弛因子的 块下三角部分，得到块SOR迭代法 （4.3）即 其中迭代矩阵 由分块矩阵乘法得到块SOR迭代法的具体形式 （4.4） 于是，当 及 已计算时，解低阶方程组(3.14)可计算小块 从 共需要解 个低阶方程组，当 为三对角阵或带状矩阵时，可用直接法求解. 定理11设 ，其中 (分块形式). (1) 如果 为对称正定矩阵，则解 的BSOR迭代法收敛. (2) 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！。