2013考研高数基础班讲义-武忠祥-.pdf

2013 年考研数学基础班讲义 （高等数学） 第一章 函数 极限 连续 一、函数 1 函数的概念（定义域，对应法则，值域） 2 函数的性态： 单调性 奇偶性 周期性 有界性 有界性 ： 定义：若使得恒有, 0>∃M, Ix∈∀,)(Mxf≤则称在)(xfI上有界 3 复合函数与反函数 (求复合函数和反函数） 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数: 将幂函数 、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数 了解它们的定义域、性质、图形. 2）初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析 式表示的函数. 常考题型： 1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2.复合函数； 1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2.复合函数； 例 1 是 )(e|sin|)(cos+∞+≤−=0,, 0,)(, 0, 2, 0,2)(2xxxxxfxxxxxg[].________)(=xfg 解 =)]([xfg ⎩⎨⎧≥+∃>∀Nε,当时，恒有Nn >ε∃>∀Xε,当时，恒有 Xx > ||ε∃>∀δε,当δA0>δ,当时，. ),(0δxUxo ∈0)(>xf（2） 如果当时,,那么. ),(0δxUxo ∈0)(≥xf0≥A3）有理运算性质 若BxgAxf==)(lim ,)(lim. 那么: BAxgxfxgxf±=±=±)(lim)(lim)]()(lim[ BAxgxfxgxf⋅=⋅=)(lim)(lim)]()(lim[ )0( )(lim)(lim )()(lim≠==⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛BBA xgxf xgxf2圆圆工作室 友情提供：更多精品，尽请关注！ 两个常用的结论：1）)()(limxgxf存在，; 0)(lim0)(lim=⇒=xfxg 2） ; 0)(lim0)(lim, 0)()(lim=⇒=≠=xgxfAxgxf4）极限值与无穷小之间的关系; )()()(limxAxfAxfα+=⇔=. 其中. 0)(lim=xα 注：数列极限也有以上对应的四条性质。

数列极限也有以上对应的四条性质 3 极限的存在准则 1）夹逼准则： 若存在，当时，NNn >nnnzyx≤≤，且,limlimazxnnnn== ∞→∞→则.limayn n= ∞→2）单调有界准则：单调有界数列必有极限 4 常用的基本极限 1sinlim 0= →xxx, exxx=+ →1)1 (lim 0, exxx=+ ∞→)11 (lim 1)1ln(lim 0=+→xxx, 11lim 0=−→xexx, axaxxln1lim 0=−→,1)1 (lim 0αα =−+→xxx. 1lim= ∞→nnn 5 无穷小量 1）无穷小量的概念: 若0)(lim0= →xf xx，则称为时的无穷小量. )(xf0xx →2） 无穷小的比较: 设0)(lim , 0)(lim==xxβα，且0)(≠xβ. （1）高阶： 若0)()(lim=xx βα； 记为));(()(xxβοα= （2）同阶： 若0)()(lim≠= Cxx βα； （3）等价： 若1)()(lim=xx βα；记为);(~)(xxβα （4）无穷小的阶: 若0)]([)(lim≠= Cxxkβα，称)(xα是)(xβ的阶无穷小. k3）常用的等价无穷小： 当时, 0→xxxxxxarctan~arcsin~tan~sin~; 1~)1ln(~−+xex ,21~cos12xx− ， ,~1)1 (xxαα−+ ,ln~1 axax−4）等价无穷小代换 3圆圆工作室 友情提供：更多精品，尽请关注！ 若,~,~ββαα且βαlim存在， 则 βα βαlimlim= 5）无穷小的性质: （1）有限个无穷小的和仍是无穷小. （2）有限个无穷小的积仍是无穷小. （3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小. 6 无穷大量 1） 无穷大量的概念: 若∞= →)(lim0xf xx，称为时的无穷大量； )(xf0xx →2）常用的一些无穷大量的比较 （1）当+∞→x时 xaxx>>aβα （2）当时 ∞→nnnnnann>>aβα 3）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量⇒无界变量 4）无穷大量与无穷小量的关系： 在同一极限过程中，如果是无穷大，则)(xf)(1 xf是无穷小；反之，如果是无穷小，且则)(xf, 0)(≠xf)(1 xf是无穷大； 常考题型： 1）求极限； 2）无穷小量阶的比较； 1）求极限； 2）无穷小量阶的比较； 1 求极限： 方法 1 有理运算 例 1 =++→xxxxxx)cos1 (1cossin3 lim20. （23） 4圆圆工作室 友情提供：更多精品，尽请关注！ 旺旺：韩圆圆1 s h o p 3 5 2 5 0 9 1 8 . t a o b a o . c o m例 2 .1111lim330xxxxx−−+−−+→)23( 方法 2 基本极限 例 nnnnncba)3(lim++∞→，其中 . 0, 0, 0>>>cba)(3abc 方法 3 等价无穷小代换 例 1 .)1ln(lim2tansin0xxeexxx+−→)21(− 例 2 .1111lim330xxxxx−−+−−+→方法 4 夹逼原理 例 1 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ +++++++++∞→nnnn nnnnn22222 11limL ( 21） 例 2 nnnn321lim++ ∞→( 3 ） 例 3 .lim21nn mnnnaaa+++ ∞→L 其中), 2 , 1( , 0miaiL=> )(maxia方法 5 单调有界准则 例 设., 2 , 121, 0, 011L=⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛+=>>+nxaxxxannn，求极限. ( nnx ∞→lima ） 2 无穷小量阶的比较 例 1 当时，与0→x2)(kxx=αxxxxcosarcsin1)(−+=β是等价无穷小，则 .______=k )43( 例 2 设当时是比高阶的无穷小， 而是比高阶的无穷小，则正整数等于 （ B ） 0→x)1ln()cos1 (2xx+−nnxxsinnxxsin) 1e (2−x（A）1. （B）2. （C）3. （D）4. 三、连续 1 连续的定义: 若（或)()(lim0 0xfxf xx= →0lim 0=Δ →Δy x）则称在处连续。

)(xf0x左连续: 若则称在处左连续 ),()(lim0 0xfxf xx= −→)(xf0x右连续: 若则称在处右连续 ),()(lim0 0xfxf xx= +→)(xf0x)(xf连续左连续且右连续 ⇔)(xf2 间断点 （在某去心邻域有定义，但在处不连续） )(xf0x0x1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点 可去间断点: 左极限=右极限 跳跃间断点: 左极限≠右极限 5圆圆工作室 友情提供：更多精品，尽请关注！ 2）第二类间断点: 左、右极限中至少有一个不存在的间断点 无穷间断点: 时,0xx →∞→)(xf 振荡间断点: 时,振荡 0xx →)(xf3 连续函数性质 1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数； 2） 基本初等函数在其定义域内是连续的； 初等函数在其定义区间内是连续的； 3）有界性：若在上连续,则在上有界 )(xf],[ba)(xf],[ba4）最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值 )(xf],[ba)(xf],[ba5）介值性:若在连续,且)(xf],[ba)()(bfaf≠，则对与之间 )(af)(bf任一数至少存在一个,C),,(ba∈ξ使得.)(Cf=ξ 推论：若在上连续，则在可取到介于最小值与最大值)(xf],[ba)(xf],[bamM之间的任何值. 6）零点定理:若在连续,且)(xf],[ba0)()(′xf，则在上单调增； 2）若在内)(xf],[ba),(ba0)(′ xf),(00δ+∈xxx时，0)(′ xf（2）若),(00xxx，而),(00δ+∈xxxδ−∈时，，则 在处取得极小值； ， （3）若，的符号保持不变，则在处没有极值； 若，则在处取得极值。

其中当时极小，当函数在上的最值； （2）应用题 4 曲线的凹向与拐点 （1）定义：凹 )(xf0x)0δ,(xUxo ∈时)(xf ′)(xf0xb） （第二充分条件） 0)(=′ xf00, 0)(≠′ ′ xf)(xf0x0)(0>′ ′ xf0)(+上0)(>′ ′ xf)0(时 1ln) xxx+>例8 求证：方程0恰有一个实根，其中cos=++xqpxqp,为常数，且. 10′ ′aa Cedxexx+=∫∫+−=Cxxdxcossin 7）∫） 8Cxxdx+=∫tansec2 +=Cxxdxsincos9） 10）Cxxdx+−=∫cotcsc2∫+=Cxxdxxsectansec 11） 12）Cxxdxx+−=∫csccotcscCxdx x+= −∫arcsin 112圆圆工作室 友情提供：更多精品，尽请关注！ Caxxax+= −15Cxdxx+=+∫arctan112arcsind22∫13） 14）15）Cax axax+=+∫arctan1d2216） ∫+−+=−.||ln21d22Cxaxa axax17）∫++=axx|ln2222+ +C ax| 18）xd∫+−+= −Caxx axx||lnd222219） 20）.|tansec|lndsec∫++=Cxxxx∫++−=.|cotcsc|lndcscCxxxx 3 三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若2）第二类换元法： CxFxxxfCuFuuf+=′∫∫))((d)())((则,)(d)(ϕϕϕ +=CxFCtFdt =ttftxxxf+=+′=−∫∫))(()()())(()(d)(1ϕϕϕϕ 常用的三种变量代换 )cos(sin, i)22tataxxa=− taxxatan, ii)22=+ taxaxsec,iii)22=− 3）分部积分法 数相乘” ∫∫−=vduuvudv“适用两类不同函 ∫∫∫∫xxexxxxx nndsin,p,dsin)(βαααxxexx ncos)(p,d)(pα， ∫∫∫∫xxxxxxxxxxxendarcsin)(p,dtanarc)(p,dln)(p,dcosxβα nn4 1）有理函数积分 三类常见函数的积分 ∫xxRd)( 2）三。