力学近似分析方法之Galerkin法.docx

Galerkin 法当弹性体处在平衡状态时，n 是一个泛函，设n = J x 2 F (x, y, y ',y ")dxx21OF dF则 5n = fx 2( OF 5y+眾切，+总势能的一阶变分为零：5 n =0 (势能驻值原理)t oy oy oy经分部积分：3F-5y “) dx = 0d oF oFdX 加］：：+［存‘］：：oF d oF d 2 oF oF d oF5n=J X2[吕-dX(寻)+令(寻)]5ydx+[刑]X2 -[ dX(站旳利用边界条件5y = §y' = 0或一般地，选择y满足力学边界条件,5 n=J：吟-dx(IF0)+dX^(务)]5ydx=0或 5 n = Jx 2 L( y )5ydx = 01近似解法设 y =神]+ a2©2 H h an«nn=\ a -Q-iii=11)式中，ai 一待定参数，Q i 一符合所有边界条件的坐标函数则5y =竺 5a、+ 空 5a2 + …+ 空 5a =£ 空 5a.Oa、 1 Oa2 2 Oa n .、da. 11 2 n i=1 in=©]51 + Q ?5a 2 + •…+ Q n5°n = 亍 Q. 5a.i=1则 5 n = J X2 L(y)Q15a1dx + …+ J ；2 Ly)Qn5andx由于 5a］, 5a 2,…5an 是任意的，由此得 Galerkin 方程X 2 L( y)Q 1dx = 01Jx 2 L( y )Q ndx = 01 (11)J X 2L( y)Qndx =0Ji式中，L(y)中y二工a卉ii=1求解上式即得y的近似解。

当为线性屈曲问题时，令a = 0，即得临界荷载PcrGalerkin 法与平衡微分方程相关，不需计算总势能当能直接写出平衡微分方程时，有 其便利之处 而 Rayleigh——Ritz 法仅需写出总势能例：求两端固支杆的临界荷载设 y = a]0] + a2©2Q1 = x4 - 2lx3 +12 x 2 © 2 = 2x5 - 5lx4 + 4l2 x3 -13 x 2©1和©2都满足全部边界条件：y(0)= y(1)=0 [©(0)=©(1)=0]y '(0) = y '(1) = 0 [©'(o)= ©'(1)= 0]L( y) = y ⑷ + k 2 y''=a1[24+2k2(6x2 - 61x + 1 2 )] + a2 [120(2x - 1) + 2k 2 (20x - 301x 2 +121x-13)] Galerkin 方程为(y )© ]dx = a](0.8 - 0.0191k 212)15 + a 2(0 + 0k 212)16 = 0肿y)© 2dx = a1(0 - 6k 212)16 + a2 (0.5714 - 0.006349k 212)17 = 0由上两式可解出a1与a2的比值，从而确定y。

a「a2不全为0的条件是0.8 - 0.0191k 212 a =-6.0k 2120=0(0.5714 - 0.006349k 212)1展开后解得(k1 )2 = 41.99 或(k1)2 = 90 (k 2 = P / EI)EI=39.48—相比，偏大约6.3%EI最小根为Pcr = 41.99_，与精确解p?r。