台球运动中的理论力学.doc

《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文台球运动中的理论力学台球运动中的理论力学摘要：摘要：如今，台球运动，包括斯诺克，八球等已经成为了深受人们喜爱的运动当我们观赏台球比赛时，会看到高水平的运动员打出各种各样的旋转球，在碰撞后会“不规则”的运动，有时会反弹，有时碰撞后会突然加速，有的时候则会拐出一条曲线这些现象似乎不满足我们脑中普通的碰撞原理因此，本文将主要通过理论力学知识，来分析产生这种现象的原因台球最简单的旋转主要是上旋和下旋，在台球运动中也成为高杆和低杆本文也主要通过这两种简单的旋转方式，来分析高杆、低杆的形成、运动过程及碰撞情况形成形成 高杆的形成中，观察到选手会撞击球的上半部分设撞击的力大小为 F，据中心水平面距离为 h，同时设球的半径为 r首先可以将力 F 平移至中心水平线上，同时产生一个附加力偶由于此时桌面的摩擦力相对 F 过小，因𝑀 = 𝐹ℎ此击球过程中，摩擦忽略不计设撞击时间为，∆𝑡则有：动量定理： 𝐹∆𝑡 = 𝑚∆𝑣○○1 1动量矩定理： 𝑀∆𝑡 = 𝐽∆𝜔○○2 2其中，J 为小球相对质心的转动惯量，𝐽 =2 5𝑚𝑣2 ○○3 3由可得，. ○○1 1○○2 2○○3 3𝜔 = =5 5ℎ𝑣𝑐2𝑟2所以击球后，设球的水平质心速度为，球同时也将以的角速度运动。

𝑣𝑐𝜔 = =5 5ℎ𝑣𝑐2𝑟2引入纯滚动概念，若碰撞之后小球刚好纯滚动， 𝜔𝑟 = 𝑣𝑐 => ℎ =2𝑟 5所以当时，无论 F 多大，击球后小球将做纯滚动因此若要打出高杆球，ℎ =2𝑟 5则力的击球点与中心水平面的距离.ℎ >2𝑟 5《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文击球后，小球的水平平动速度设为，则此时，小球同时将以𝑣𝑐𝜔 = =5 5ℎ𝑣𝑐2𝑟2的速度绕质心转动且. 同时，高杆形成之后，一开始的运动过程中会𝜔𝑟 > 𝑣𝑐与地面产生相对位移，因此在之后的运动过程中会随着摩擦力产生的抵抗力矩最终变为纯滚动对于低杆球，则是由于击球时击球点位于中心平面的下造成的如图，同样的，力 F 与中心水平面距离为h，将力 F 向中心平面平移，同时也产生一个逆时针的附加力偶假设击球时𝑀 = 𝐹ℎ间，则有：∆𝑡动量定理： 𝐹∆𝑡 = 𝑚∆𝑣○○4 4动量矩定理： 𝑀∆𝑡 = 𝐽∆𝜔○○5 5同样的也有, 但是由于小球相对质心向后转动，因此当 h>0，即𝜔 = =5 5ℎ𝑣𝑐2𝑟2只要力的作用点在球心下方，就能产生低杆的效果。

击球后，假设路程足够长，最终小球会由于桌面摩擦力产生的阻抗力矩，最后做纯滚运动运动过程：运动过程：在实际的台球运动中，选手们选择低杆和高杆主要是为了让球按照自己理想的路径运动，再低杆中，选手们希望小球在碰撞后能够静止或者能够反向运动，而在高杆中，选手们则希望小球在碰撞后能够具有向前的较大的速度高杆高杆：选手击打高杆的目的是为了在与后面的球碰撞后能产生一个继续向前的动力，由于桌球中的小球很光滑，可以看成是刚性球，所以碰撞过程中有机械能守恒和动量守恒，因此碰撞后瞬间质心速度变为零，𝑣𝑐由于要求碰撞后有个向前运动的动力，因此应有： . .𝜔 >𝑣𝑐𝑟假设小球从击球到碰撞所走过的路程为S S，桌面的摩擦力为，则有：𝐹𝑓初始时刻, 其中为击球后小球绕质心的转速，为初始的质：𝜔1=5ℎ𝑣12𝑟2𝜔1𝑣1《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文心速度设小球碰撞前经过了时间 t，则有：，其中：∆𝑠 = 𝑣∆𝑡○○6 6, 为质心加速度，且,代入式，两边积分，可得：𝑣 = 𝑣1+ 𝑎𝑡𝑎𝑎 =𝐹𝑓𝑚○○6 6解得：∫𝑠0∆𝑠 =∫𝑡0(𝑣1+𝐹𝑓𝑚)∆𝑡𝑡 =𝑚( ‒ 𝑣1+𝑣21+2𝐹𝑓𝑠𝑚)𝐹𝑓由动量矩定理：,其中M为摩擦力产生的阻抗力矩，𝑀∆𝑡 = 𝐽∆𝜔且,带入后两边积分，𝑀 = ‒ 𝐹𝑓𝑟可得： ,∫𝜔2𝜔12𝑚𝑟2 5∆𝜔 =‒∫𝑡0𝐹𝑓𝑟∆𝑡 ○○7 7其中为碰撞前瞬间小球的转动速度，相应的，为碰前的质心速度。

𝜔2𝑣2解得：,所以有,，○○7 7𝜔2= 𝜔1‒5𝐹𝑓𝑡2𝑚𝑟𝜔2𝑟 > 𝑣2 𝑣2= 𝑣1+ 𝑎𝑡将以上两式，可解得：𝑎、𝑡带入𝑣1>98𝐹𝑓𝑟2𝑠𝑚(25(𝑟 + ℎ)2‒ 49𝑟2)所以若要达到理想的效果，在击球高度一定的情况下，初速度应当超过一定 值速度一定，则击球高度应当适当偏高些这种情况下，选手才可能打出理想的高杆效果低杆：低杆：与高杆不同，选手选择低杆主要是希望小球在发生碰撞后能够“回弹”或者不再继续前进，也就是使得在碰撞前的瞬间，，，且此时 方向垂直朝外𝜔 ≥ 0𝜔同样的，设小球碰撞前走过的路程为S S，桌面的摩擦力为，、、、所代表含义相同𝐹𝑓𝑣1𝑣2𝜔1𝜔2于是有：∆𝑠 = 𝑣∆𝑡, 为质心加速度，且，带入后两边积分，得：𝑣 = 𝑣1+ 𝑎𝑡𝑎𝑎 =‒𝐹𝑓𝑚《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文解得：∫𝑠0∆𝑠 =∫𝑡0(𝑣1‒𝐹𝑓𝑚)∆𝑡，所以有𝑡 =𝑚(𝑣1‒𝑣21‒𝐹𝑓𝑠𝑚)𝐹𝑓∆ > 0𝑣1>2𝐹𝑓𝑠𝑚由动量矩定理：,其中M为摩擦力产生的阻抗力矩，𝑀∆𝑡 = 𝐽∆𝜔且,带入后两边积分，𝑀 = ‒ 𝐹𝑓𝑟可得： ∫𝜔2𝜔12𝑚𝑟2 5∆𝜔 =‒∫𝑡0𝐹𝑓𝑟∆𝑡，因此应当有。

>𝜔2= 𝜔1‒5𝐹𝑓𝑡2𝑚𝑟𝜔2> 0代入，解得：，由于，𝑣1>2𝐹𝑓𝑠𝑟2𝑚(2ℎ𝑟 ‒ ℎ2)𝑟22ℎ𝑟 ‒ ℎ2≤ 1∴ 𝑣1>2𝐹𝑓𝑠𝑟2𝑚(2ℎ𝑟 ‒ ℎ2)所以选手在高度一定时，击球速度只有达到一定的大小，才可能击出理想的效果，而当速度有限时，击球点可以更低些，以达到低杆的目的碰撞碰撞如图，假设选手打出高杆后与其他球发生碰撞，由于侧碰后情况复杂，故只考虑正碰情况下的状况由于台球均为表面光滑的实心均匀刚体球，故可认为在碰撞过程中动量和机械能守恒，由于两小球质量相同，故发生了“速度交换” 若之前击打的白球以质心速度为向前运动，则碰撞后白球的质心速度为零，被碰撞球的速度𝑣1𝑣2= 𝑣1𝐹𝑓《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文首先考虑击打高杆的碰撞后情况，由于质心速度降为零，碰撞后瞬间只有角速度为 的转动，此时小球受到一个向前的摩擦力，因此质心开始往前做匀𝜔加速运动，假设质心加速的时间为 t，摩擦力产生阻抗力矩:𝑀 = ‒ 𝐹𝑓𝑟由纯滚动定义：，则有：𝜔𝑟 = 𝑣𝑐其中、为小球最终纯滚动时的角速度和速度。

𝜔’𝑟 = 𝑣'𝜔’ 𝑣'同时有 动量矩定理：𝑀𝑡 = 𝐽(𝜔’ ‒ 𝜔)动量定理： 𝐹𝑓𝑡 = 𝑚(𝑣'‒ 0)由以上三式可以解得：, 𝑡 =2𝑚𝜔𝑟7𝐹𝑓𝑣’ =2𝜔𝑟7所以当 足够大时，会看到白球在碰撞后会不停反而加速，而且如果碰前的角𝜔速度越大，加速持续的时间也就越长而且最后白球将以的速度向前𝑣’ =2𝜔𝑟 7运动而对于低杆：在低杆球中，碰撞前白球具有逆时针绕质心的角速度 ，设碰撞前瞬间白𝜔球的质心速度为，由于假设小球均为光滑均质球体，因此球之间的摩擦忽略𝑣1不计，所以白球的转动不影响碰撞的结果由动量守恒和机械能守恒，被碰撞的球碰后速度，白球碰后瞬间质𝑣2= 𝑣1心速度为零，但有一个逆时针的角速度由于摩擦力产生的阻抗力矩的作𝜔，𝐹𝑓用，最终白球会做纯滚运动设碰撞后 t 时间，白球开始纯滚动，且纯滚动时的角速度和质心速度分别为、𝜔’ 𝑣'则由纯滚动条件有：𝜔’𝑟 = 𝑣'又有 动量矩定理：𝑀𝑡 = 𝐽(𝜔’ ‒ 𝜔)动量定理： 𝐹𝑓𝑡 = 𝑚(𝑣'‒ 0)《《理论力学理论力学》》课程学习论文课程学习论文最后解得： , 𝑡 =2𝑚𝜔𝑟 7𝐹𝑓𝑣’ =2𝜔𝑟 7所以可以看出，打出低杆后，最后白球将以的速度反向运动，而𝑣’ =2𝜔𝑟 7且随着碰撞前的转动角速度而改变，因此只有使得碰撞前的角速度达到一定值，才可能打出理想的效果。

结语结语在台球运动中，无论是球的击打、运动、碰撞都按着严格的力学和运动学原理进行，同时，高水平运动员极具特色的杆法也是建立在力学和运动学的原理上，看似诡异的现象也只是这些理论的现象展示而已因此本文主要粗略的探讨了台球运动中最基本的两种杆法：高杆和低杆并用理论力学的知识和原理加以推倒和解释，鉴于水平有限，侧旋球和侧碰的现象和原理不能详细说明，请加以谅解声明：本文为本人独立创作，除所列参考文献的参阅外，绝无抄袭参考文献参考文献《斯诺克台球运动技术的力学分析》 马文海、时金钟、王崇等《武汉体育学院学报》43 卷第 4 期《工程力学・教程篇》第二版 周松鹤、徐烈烜等 《机械工业出版社》《普通物理学教程・力学》第二版 漆安慎、杜婵英等 《高等教育出版社》。